如413647=13*47*677，则等号两边的数位集合相同(1,3,4,6,7)。能否构造出更多的这样的数呢？

三元一次不定方程，ax+by+cz=n，gcd（a，b，c）=1，所有非负整数解f_n=（n²+an+bn+cn+R_n）/（2abc），余项R_n=（a+b+c-r）r+a（b-1）ct_i+（a-1）bct_j-2ac∑t_i-2bc∑t_j，其中r=cm₁+r_c+a+b，可以从方程中计算R_n， 例：33x+35y+64z=n的非负整数解 f_n=（n²+132n+R_n）/147840 当n=2026时，R_2026=-84748 又f_n=（n²+132n-84748）/147840 求所有n，用Shank算法有128个解+73920N 直降为16个解+9240N，但是这些解的R_n（mod147840）是一致的，最小解n=922， 则R_922=358772，R__1186=358772，R_1762=-84748=R_1802，那么R_n=-8

已知(10^55+2)/6, (10^56+2)/6皆是素数，那么若10^55+a，10^56+a皆是素数，最小的a是多少呢？ 巳经验证过a=<1227无解。

对任意正整数A, 在其末尾添加n个1后，得到数A11……11，若其各个素因子中，至少出现1个数字0，那么n的最小值是多少呢？

若连续自然数，其皆有2个不同的素因子，那么其序列的长度会有上限吗？如91=13*7, 92=2^2*23, 93=3*31,94=2*47,95=5*19,96=2^5*3，即序列91,92,93,94,95,96的长度为6。

若 x, y, p 为互不相同的素数，证明：（1) xy-p^2=3无解。（2) |xy-p^2| =1231无解。

设正整数A, B与δ∈{1, -1} 满足AB不是完全平方数, 并且使关于x,y的不定方程 Ax^2 - By^2 = δ 有正整数解 这时这个方程有无穷多组正整数解, 如果将这些解按x由小到大依次记为(x_1, y_1), (x_2, y_2), … 猜测: 当n>3时, x_n不会是完全平方数. 相当于说Ax^4 - By^2 = δ 的正整数解只能由前两组解给出

如果ai这么强大，我大概率要转行了。因为ai懂得工具比人类多太多了。就像有的人，他是专门钻研微分方程这一方面的，有些人是研究什么级数概率方面的，有的人是研究什么拓扑学方面的，其实有些工具，如果你能懂别的学科，比如说他研究那一方面的工具，其实带到你这个里面，有很多知识都是迎刃可以解决的。懂得工具的运用是数学解决的最强大的工具。去年deepmind一口气解决10个百年问题的时候，我就害怕，现在只能离开。10月份后我可能就

证明：对于所有n>=1，方程 xy - p^2= 2n总有解，其中 x, y, p 是互不相同的素数。

证明：对于所有n>=0，方程 |xy - p^2| = 60n + 41无解，其中 x, y, p 是互不相同的素数。

证明：对于所有n>=1，方程 |xy - p^2| = 3n总有解，其中 x, y, p 是互不相同的素数。

大佬们看看

末尾数字是4444的数，不是平方数吗？

张益唐的素数间隔7千万，AI新突破到了186.

为什么能够有19|12008,120308,1203308,12033…3308及 7|161，1631，16331，1633…331呢？

联赛别出猜答案的题呀啊啊啊啊啊啊 （防水）前两天考的一道题，挺优雅的，是去年谜赛的题

A^2+(a^2+b^2)（x^2+729）＝z^2，求整数通解

感觉是9次考试里最优雅的题，前两天想发的结果忘了

729-2^（2（t[1]+t[2]+t[3]+1))(a^2+b^2)+2^（t[1]+t[2]+t[3]+2)54k+2^（t[1]+t[2]+t[3]+2)(9+3*2^t [1]+2^(t [1]+t [2]))＝x^2 （1） 12k-2-9 (a^2+b^2)＝y^2 (2) m＝（27±x）/（2^（t [1]+t [2]+t [3]+1））＝(2±2y)/6＝（1±y）/3 (3) 其中 x，y 为整数，k 为整数，m，a，b 为奇数，t [1]，t [2]，t [3] 为正整数，中括号中为下标 求证，不存在满足条件（1）（2）（3）的数 ，我用ai辅助证明，但太繁琐，又看不太懂。所以有人能结合ai，帮着证明一下吗

(2p-1)(m（2p-1)-1)-p＝kp^2，证明 p 有无穷多个解，p 是正整数，m，k为正整数参数，也为变量

若m是正整数，证明：2^m+m不是平方数。

如题，见二楼，和常见二项式定理证明有区别，由原命题竖组合变为横组合，进而直接用到p是素数这个条件

p 为素数，若 p⁴-1 素因子恰为 2，3，5，则唯一解为p=7

有些偶数可表示为2个素数之和，即偶数2n=素数a+素数b，且2n+a, 2n+b也皆是素数。那么没有这种性质的偶数，会有很多吗？如32=3+29=13+19。

大佬们看看能不能证明或证伪

证明：gcd(a,b)=gcd(a, a mod b)，即gcd(a,b)=gcd(a,a-bm), 其中m是任意整数。

我发现q=apck-pc-a→p/q=1/（akc-c）+1/kqc+1/（ak^2qc-kqc）即左式q=apck-pc-a对于p/q有正整数a，c，k解，便有三项单位分解。 我在此诚邀真心讨论/合作者。已有完整算法，部分数据，初等变形。 在知乎有几章记录，可搜“三项单位分拆”，名叫小皮。可私聊。 独立研究者，只会初等分析。

若n>=4,方程n^a+(n+1)^b+(n+2)^c=(n+3)^d有唯一的整数解(a,b,c,d)=(0,1,0,1)吗？

近期从知乎、bilibili等查阅学习了对称多项式，收获很多。写作本帖旨在加深学习理解和勘误，并给有需要的同学提供些帮助。受限于能力水平，本文也难免有疏漏之处。欢迎大家批评指正以及讨论。 本篇包含如下内容： 1、对称多项式定义； 2、对称多项式基本定理； 3、牛顿恒等式及其证明； 4、用牛顿恒等式证明对称多项式基本定理（存在性）； 5、标准字典序法证明对称多项式基本定理（存在性）； 6、唯一性证明

这里的第7道习题，我只求x=y=z的情况。看看有没有大佬，能求出更多的情况?我用的是不等式法。 不要求直接求出所有情况。太难了这题，我断断续续做了几个月。

用D老师排版，本质上是二项式系数在素数域上的反对称性，充分性由卢卡斯定理保证，必要性由合数最小素因子不可能等于合数自身保证。

手算不了，求解

在10-adic中，若a^2=a, b^2=b, 且a不等于b，则有a+b=1, ab=0？

如图，1/3的5进数的展开式，这个除式看不明白，有懂行的解释一下么？

n²⁰¹⁷+n²+1是素数。

对于序列1，11，111，…,111…1，证明：仅有1是立方数。

若p^n+n=0 mod10^n，那么最小的素数p是否存在呢？

若n，k皆>=2，（1)能否证明n^k的末尾数字，不可能是8888呢？(2)证明2^(100m+39)，m>=0的末尾的千位，是奇数。

格林-陶定理（Green–Tao Theorem） 该定理由本·格林与陶哲轩于2004年联合证明，核心结论：素数集合中存在任意长的等差数列。 一、通俗解读 对任意正整数 k，都能找到由 k 个素数组成的等差数列。 这类数列形式为 a, a+d, a+2d, …, a+(k-1)d，其中 a,d>0。

三元一次不定方程ax+by+cz=n，gcd（a，b，c）=1的所有非负整数解 k=（n²+（a+b+c）n+R_n）/2abc 存在多组n_s与n对应的R_n值 例：35x+33y+32z=2026，求n_s值 可以找到一组8个值， 1234，2026，7114，10474，26386， 29746，34834，35626 当给出R值后，由整式二次剩余，则有32个解

设n，k是正整数，证明:n+（n+1）+（n+2）+...+n^2=k^2的正整数解仅有（n，k）=（1，1），（2，3）。

排长及一群士兵，共21人，到一家饭店吃饭，排长要求老板陪同大家，围成一圈，共同吃饭。饭罢，付款时，排长建议玩游戏付款，老板同意。排长编号1，顺时针，数到7的人出局，再把原编号8的人，作为新的编号1，顺时针数到7的人出局，若最后导致老板付款，那么求出排长的位置。

证明：对素数p>100 (乱取的), {k^k}(1≤k≤p-1)模p至少有(p-1) /4个不同余数. 去年有个同学写的, 但我现在还不会证

数论相关文献中常被引用的Mertens定理, 一般是指波兰数学家Franz Mertens(1874)证明的 lim ( ∑1/p (p≤x) - ln ln x ) = M (x→∞) 以及 ∏ p/(p-1) (p≤x) ~ e^γ ln x (x→∞) 其中 γ = 0.577215…为Euler-Mascheroni常数 M = 0.261497… 为Meissel-Mertens常数 更完整的Mertens定理还包括对余项的估计 这个帖子介绍Mertens定理的一种证明过程, 主要步骤接近Mertens原证明中的思路

关于方程 x⁴ + m·x²·y² + y⁴ = z² 的无穷多组整数解 取正整数 n, p, q，以及无平方因子正整数 l，要求满足n² − 4p⁴ = l·y² (1) （此时 y 被唯一确定为正整数） 定义参数 m = (l·q² ± n) / p² (2) （要求 m 为整数，可通过选取合适的 p, q, n 满足） 令 x = 2pq。则 x⁴ + m·x²·y² + y⁴= 16p⁴q⁴ + [(l·q² ± n)/p²]·(4p²q²)·y² + y⁴= 16p⁴q⁴ + 4q²y²(l·q² ± n) + y⁴= 16p⁴q⁴ + 4l·y²·q⁴ ± 4n·q²·y² + y⁴ 由(1)得 l·y² = n² − 4p⁴，代入上式= 16p⁴q⁴ + 4(n² − 4p⁴)q⁴ ± 4n

若m，n是已给定的正整数，方程m=a^2+b^2+c^2, n=a+b+c，其正整数解(a,b,c)的组数的最大值是多少呢？

如361=19^2，其中36=6^2 , 1=1^2； 1444=38^2，其中144=12^2，4=2^2； 49=7^2, 其中4=2^2， 9=3^2； x16 其中x=a^2, 16=4^2; …… 求第n个。