若p是素数，求方程1/p^2*(a^2+b^2)/(a^2b^2)+(c^2+d^2)/(c^2d^2)=1的正整数解。

疑似发现素数生成器，有没有大佬帮我看看这个素数生成器有没有什么问题？

若p 是素数, 证明: 方程1/x^2+1/y^2+1/z^2 = 1/p有唯一正整数解(3,3,3,3)。

下图中，有多重求和 多重求和∑∑∑…∑，怎么具体的展开，即不要∑符合，然后一项项的展开，列出来。 我真不会，谢谢

来源：21年YMO 看了标答，感觉不是很自然，有没有吧u浇浇s顺便讲讲做题思路

若a_1,a_2,a_3,…,a_n的值，只能取0或1，且拼接数(a_1a_2a_3…a_n)_2(为2进制)|(a_1a_2a_3…a_n)_10(为10进制)，求通解a_1a_2a_3…a_n。

将64位的十进制素数1001101000110010100011101010111001010000010110101001000001001101当成二进制数，转成十进制数后，为20位的素数11111100110000001101，再当成二进制数，转成十进制后，为7位的素数1035277。 能发现更大的类似的数吗？

对于平面上的N个两两不共线的点，N=4的时候可以找到这样的四个点两两不共线，两两之间距离均为有理数：O(0, 0), A(3, 0), B(-132/65, -132√3/65), C(-5/2, 5√3/2), 原理是两两之间满足x²+xy+y²为完全平方数的最小正整数数组为195, 264, 325 我们把他扩展到N≥5的情况，而当我尝试寻找满足两两之间距离均为有理数的点，可惜都失败了，于是我有这样的猜想：对于平面上任意N（N≥3）个两两不共线的点，彼此之间连成的线段最多只有3(N-2)条线段长度均为有理数，请

对于任何整数p，q且q不等于0，都有|2^(1/2)-p/q|>1/(3q^2)。

埃尔德什的一个猜想： 任意正整数 n > 1，使得 4/n = 1/x + 1/y + 1/z 总有正整数解：x,y,z . 此猜想看似简单，实际是高维难题。

对于平面上的n个点，当使两两的距离为1的点对最多时，所有点对的距离的最小值，是怎么样的呢？

在黑板的第1行写上m个不超过n的自然数，第2行写上n个不超过m的自然数，我们将一行中的一个或数个位置相连的数称为一段，证明：可以从两行中各选出一段来，使两段数的和相等。

在三角形ABC中，添加若干条，过一顶点或不过顶点的直线，得到的三角形总数，可以是任意正整数吗？

设a，b，c，d都是大于或等于2的正整数，求方程 a^b-c^d=100的正整数解( a，b，c，d)，(不超过10^10都可以)。 我的思路:100=25×4，有以下正整数解: 若a^ b和c^d都被25整除，有 ①a^b-c^d=25×(5-1)=100，a=c=5，b=3，d=2。 ②a^b-c^d=25×(9-5)=100 ，a=15，b=2，c=5，d=3。 ③a^b-c^d=25×(125-121)=100，a=b=5，c=55，d=2。 后面的类似的正整数解较大了，有空再找找吧。

每组不全为0并且满足gcd(A,B,C) = 1的有序整数对(A,B,C), 都能唯一确定Z^3整数格中的一个经过原点的平面格 Λ : Ax + By + Cz = 0 (由所有满足Ax + By + Cz = 0的整格点(x,y,z)组成的点集) 对于这类平面格的一个大胆猜想: 对任意的 Λ: Ax + By + Cz = 0 和 Λ' : ax + by + cz = 0, Λ 与 Λ' 的一个子格相似 <=> (A^2 + B^2 + C^2)/(a^2 + b^2 + c^2) 等于一个有理数的平方

如下图所示，我想问的是是否存在这样的S是满足这样的唯一分解的，或者有没有成熟的结论了？

在闭区间[0,1]上的恰当位置(不含端点)，放第一个点a_1，约定每个点一旦放下，就不能再调整位置。再在恰当的位置放第二个点a_2, 保证a_1，a_2分别位于开区间(0,1/2)，(1/2,1)内。再放第3个点a_3，保证a_1,a_2,a_3分别位于(0,1/3),(1/3,2/3),(2/3,1)内，…… ,依此类推，证明：至多放17个点。

我在上网的时候经常会碰到这一类题： 填入不同的正整数 1/x+1/y+1/z=1/a(a为已知正整数，x, y, z∈Ｎ*为未知数，x＜y＜z) 当时我很快用通用方法1/n=1/(n+1)+1/n(n+1)秒掉了， 但是，换一种问法，让你求总共有多少组解，应该怎么做？ 如果是二元的，可以很快算出总共解的组数，不妨记a=Π_(i=1)^n p_i^q_i(p_i∈Ｐ, q_i∈Ｎ*, 且p_i互不相同), 原式可以转化为xy=a(x+y), 即(x-a)(y-a)=a², 可以得到总共有(Π_(i=1)^n (2q_i+1)-1)/2组解，比如a=6时，有(x, y)=(7, 42), (8, 24), (9, 18), (10, 15)这

命题1：对于正整数m>4，存在正整数D<2^[2^m-(m+2)]， 使得2^(m+1)*D^2+2^(2^m )是两个相邻（孪生）偶数之积。

设n为大于1的正整数, a_1, a_2, ..., a_n 是一个由非零整数组成的公差不为0的n项等差数列, 记 S = 1/a_1 + 1/a_2 + ... + 1/a_n 问题: 若S是整数, 是不是只可能 a_1 + a_n = 0 且 S = 0 ?

ax+by+cz=n，令a>b>c，（a，b，c）≡1 固定z时 ax+by=cm+r，m，r是正整数，r=1～c-1 这样把三元问题转化为求二元来解， 有最小解x，y满足 x=Am-Br（modb） y=-Cm+Dr（moda） 则给出r，m，x，y的解集 其中有当r每递增1个单位时，x和y都可最小解m 则存在有限个阈值，使x，y，m，r为递归组 注意：当m=-1时，ax+by+cz=n无解 具体演算实例 99871x+9433y+193z=n 令99871x+9433y=193m+r，r<193 有解组是 x=2174m-1064r（mod9433） y=-23017m+11265r（mod99871） 还可以解出 m=（11265x+1064y+k）/22 r=（23017x+2

RT

证明：正三角形网格中，任意四个顶点都不能构成正方形。

给定p1是个素数，令p2＝2^p1-1，p2是梅森数，如果p2是梅森素数，再令p3＝2^p2-1，如果p3是素数，则继续下去，令p4＝2^p3-1，一直这样演算下去，直到得到某个pi为合数为止，得到合数就终止演算。证明，任给一个素数p1，这样一直演算下去，总会得到某个pi为合数，而不是得到无穷多个素数p1，p2，p3，…，pj，……

问是否对任意由正整数构成的首项和公差互素的等差数列{a_i}(1≤i≤n)，都有lcm(a_1,...,a_n)≥lcm(1,...,n).

费马大定理肯定是，但解决了。 还有其他的齐次不定方程方面的难题吗？不著名也行

若a,b,c都是奇数，证明：方程ax^2+bx+c=0没有有理数根。

给定集合{1, 2, ..., 2^n-1}，从中选取2个及以上的相异数之组合，问元素的二进制表示，两两按位与，其值非0的组合的数量，是怎样的呢？如n=2时，集合为{1,2,3}, 只能选取{1,3},{2,3},而{1,2}和{1,2,3}是不行的，因为1的二进制为001，而2的二进制是010, 两者按位与，其值为0。

在圆周上放有30个实数，它们的和等于0，其中一个数为1，证明：存在一个数x_i与相邻二数x_(i-1), x_(i+1)有|2x_i-x_(i-1)-x_(i+1)|>=4/113。

证明:丢番图方程n(n+1)(n+2)= m^2-1在n＞4时无偶数解。 思路:设n=2k，k是正整数。然后8k^3+12k^2+4k=m^2-1。 可以设m= t且是奇数。这给出k(k+1)(2k+1)= t(t+1)。 一共6种情况均给出n＞4时方程无偶数解。 请问一下，有没有其他的证明方法？

质数差值完全平方数猜想数差值完全平方数猜想： 当a+b=[lbk]√（4ab)[rbk]+c, ［］为向上取整， a与b是偶数（a+b)分为的两个质数， c=0或c=1时 则A=「√ab，向上取整，B=A^2-ab为平方数。 举例演示一： 1844=907+937 最优素数对：{a=907,b=937} a+b=907+937={1844} 开根号（4×907×937)=1842.9967 向上取整：=1843 1844=1843+1，{c=1} {907/937}=0.968>31/61，作为验证 A=开根号（907×937）=921.4977 A=922，向上取整得到。 B=922^2-907×937=225=5^2 举例演示（二） c>2时，B不是完全平方数. [lbk]√(4×7×1

给定一组满足a+b+c=0的非零整数a,b,c, 是否只存在有限多组非负整数 r > s > t, 使得多项式 f(x) = ax^r + bx^s + cx^t 满足 f(2)≠0 并且 f(2) | f(n) 对任意整数n都成立 ? 来自这个帖子的推广 https://tieba.baidu.com/p/10723319021

有20个数：1, 2, 3, …, 20。 两人轮流在这些数前面，添上正号或负号(放的顺序不限)。全部放完后计算代数和S的绝对值|S|， 第一个玩家的目的是使|S|尽可能小，那么第二个玩家能达到的|S|最大值是多少？

质数分布曲线与偶数最优素数拆分震荡曲线一致性对比分析 一、两条曲线核心定义 1.质数密度分布曲线 整体规律：数值越小，局部质数疏密波动极强；800–2000区间小簇质数断层、空白间隙最多；大于2000后，质数分布间隙被持续稀释，密度波动平缓。 小数值段质数分布呈局部簇状、不规则断层；大数段趋近均匀分布。 2.偶数拆最优两质数震荡曲线（c值曲线） c=N-\sqrt{4pq}，代表最小差值素数对偏离均分程度。 走势：1~800震荡缓慢抬升；800‑2000达到全

高合成数大家都熟悉，但是在OEIS官网上搜索“Highly composite”这个字眼，不光会出现诸多关于高合成数的问题，还会发现很多特定范畴内的“高合成”，比如：高合成奇数（也就是某个奇数的因数数量比小于他的所有奇数的都要多），高合成平方数，高合成三角形数，高合成k²-1形状的数等，虽然五花八门，但都遵循同一个规则：在限定的范畴内比较因数数量，我只能感叹：万物皆可高合成啊 但是，有一些范畴的高合成，oeis上面搜不到 比如说限定在

设素数p，求解： 存在一个奇数d，使得(2^p+p^2 d^2-1)为完全平方数的条件（素数p的同余类型）？

一个完全恢复好的3阶魔方，每个面的色彩数为1，则六面的色彩数之和为6。打乱魔方后，发现六面的色彩数之和为8，9，10，11，12，14，15是可以的，易证7是不可能的，那13呢？若13是可行的话，求最少步数的操作。

能否证明下题呢？(1)2^1111+3^4000是素数。(2)2^1…1(共11个1)+3^40…0(4后面共10个0)是合数。

一个数字游戏，如何找到含2的幂次最多的正整数？ 其中数字0-9只能用一次。 我目前只找到了含2的8次方的一个正整数4872960。 4872960=8×609120=16×304560=32×152280= 64×76140=128×38070=256×19035=2^8×19035。 不超过10位数的正整数都可以。

相邻素数构成的素数等差数列，长度上限是多少？

猜想：当x与y为相邻质数时， x+y=[lbk]√(4xy)[rbk], 恒成立，注：［］为向上取整。

记φ(n)（n∈Ｎ*）为1/n能够拆分为三个互不相同的埃及分数和的总情况数，也就是1/n=1/x+1/y+1/z(x, y, z∈Ｎ*，x＜y＜z)的解的数量，比如1只有1/2+1/3+1/6一种拆法，所以φ(1)=1，1/2有1/3+1/7+1/42, 1/3+1/8+1/24, 1/3+1/9+1/18, 1/3+1/10+1/15, 1/4+1/5+1/20, 1/4+1/6+1/12这6种拆法，则φ(2)=6，同样的方法我们可以求出φ(3)=15, φ(4)=22, φ(5)=30等 定义：一个数N，若对任意小于N的正整数n, 都有φ(n)＜φ(N)，则称N为“高度拆分数”，或者“高拆分数” 比如5是“高拆分数”，因为所有小于5的正

任意有理点组成的角的正切值tan只能是有理数?

图中的结论是否正确？