当n>1时, 可以把n写成m*3^k的形式, 其中k是非负整数, m与3互素, 这样的表示方法是唯一的
因为3 | 10^n -1, 按照LTE引理,
v_3 (10^n -1) = v_3(10-1) + v_3(n) = k+2
这里的v_3(m)表示正整数m的素因数分解式中3的指数, 也就是满足3^k | m的非负整数k中最大的, 如果3不整除m, v_3(m)就等于0, 这和v_3(m)的两种定义都符合
LTE引理说明 10^n -1 的分解式中 3的幂很小, 这样才能推出10^n -1 的大部分素因子都大于5, 这一步是必要的, 由LTE的结果可知
d = (10^n -1)/ 3^(k+2)
是10^n -1的因数, 而且不被3整除, 它又和10互素, 所以素因子不小于7, 这样就能得到
d ≥ 7^ f(d)
也就是 f(d)≤ log d / log 7. 因为10^n -1 = d*3^(k+2), 所以
f(10^n -1) = f(d) + k+2
≤ log d / log 7 + k+2
= log(10^n-1) / log 7 - log(3^(k+2)) / log 7 + k+2
< n*log10 / log 7 + (k+2)* (1-log 3 / log 7)
而 f(10^n) = f(5^n*2^n) = 2n, 要证明f(10^n-1) < f(10^n), 只需要用上前面的估计, 证明
n*log10 / log 7 + (k+2)* (1-log 3 / log 7) < 2n
也就是
k+2 < n* (2- log 10 / log 7) / (1 - log 3 / log 7)
其中右边的常数
(2- log 10 / log 7) / (1 - log 3 / log 7) = log (49/10) / log (7/3)
将其记为C, 由 49/10 > 7/3 可知 C>1
k相对于n很小是因为3^k整除n, 可得n≥3^k, 而当k≥1时可以证明 k+2≤3^k (归纳比较, 或者求导), 所以这种情况下
k+2 ≤ 3^k ≤ n < n*C
另外当k = 0时, 由n≥2可得
k+2 = 2 ≤ n < n*C
这样就证明 k+2 < n*C 总成立, 按照前面的过程, 这说明 f(10^n-1) < f(10^n) 在n > 1时总成立
