10550 证明圆相切，三角法练习

设三角形 $ABC$ 的外接圆为圆 $(O)$，内切圆为圆 $(I)$。直线 $AI$ 交 $BC$ 于点 $D$。设圆 $(J)$ 经过点 $A$ 且与三角形 $BIC$ 的外接圆相切于点 $P$。圆 $(J)$ 再次交圆 $(O)$ 于点 $Q$，直线 $PQ$ 再次交圆 $(O)$ 于点 $R$。设 $\ell$ 为圆 $(J)$ 在点 $P$ 处的切线。直线 $RB$、$RC$ 分别交 $\ell$ 于点 $E$、$F$。在 $BC$ 上取点 $M$、$N$ 使得 $EM \parallel FN \parallel PD$。证明三角形 $AMN$ 的外接圆与圆 $(O)$ 相切。