可以看一下这个帖子的10楼的地图，元朝领土最大是在元武宗至大三年（1310年）。
汤因比（Toynbee）《历史研究》中的世界历史地图集：
《历史研究》地图集Toynbee

多谢管理员！

元朝岭北行省西北部，到达叶尼塞河河口，以及北冰洋附近的日不落之山。
具体可见下面这个帖子的8楼至12楼：
元代的“北海”不是今天的贝加尔湖，当时....

【疆域面积】关于内地及海外对元朝疆域几种画法的疆域计算：
【疆域面积】关于内地及海外对元朝疆域几....

【面积数据】部分中国历史地图不同画法疆域面积计算：
【面积数据】部分中国历史地图不同画法疆....

综合以上资料，1310年，元朝直辖区超过2000万平方公里，西北宗藩三大兀鲁思（术赤兀鲁思、察合台兀鲁思、旭烈兀兀鲁思）合计大约1500万平方公里，共计超过3500万平方公里。

1335年，旭烈兀兀鲁思（伊儿汗国）君主不赛因去世，陷入混乱和内战。

从1303年西北宗藩四大兀鲁思承认元朝皇帝宗主地位，到1335年旭烈兀兀鲁思君主不赛因去世，一共持续了32年。

元朝皇帝和西北宗藩四大兀鲁思之间的关系，可以看一下这个帖子里的众多资料：
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国内外众多不同版本的，不同时期的元时期地图，包括西北宗藩四大兀鲁思：
国内外众多不同版本的，不同时期的元时期....

从直辖角度讲，元宪宗九年（1259年）疆域最大，直辖区域超过3000万平方公里。
1259年的南宋，控制区域大概180万平方公里。
1259年的四川西部（包括成都）属于元朝管辖区。四川东部（包括重庆）属于南宋管辖区。