求在某个范围内，各位数字之和为n的数的个数有多少个，类似的问题在本吧多次出现过。做法无非是2种，插条法和枚举法（穷举法）。
穷举法的问题在于，运用太多的加法，速度慢，是个水磨功夫；
在n≤9时，插条法无疑是最佳选择；但是，当n＞9时，插条法就显得无能为力，因为无法避免某位数字大于9的情况出现，如果n值比较小，还可以采用插条法结合穷举法的形式，但是，当n比较大是，也不适用了。
今天在研究其他问题时，无意中发现了一个当n比较大时，仍然可以用插条法的计算数字和为n的数之个数的方法，不知是否成熟，与大家探讨。
首先说一下插条法计算各位数字和n≤9的数字个数的方法。
例1：0~99999中，各位数字之和为9的数有多少个？
一共5位数字（各位数字均可以是0，下同），也就是说，在9个样，8个空，插4个条（分成5份），其中任何一份都可以是0（也就是说，任何一个空中都可以插2个、3个甚至4个条），这样是无法计算的，必须对其进行改进。
改进方法是，消除0。5位数字，各位数字之和为9，如果将每位数字都+1，就变成了5位数字，各位数字之和为14。14个样，13个空，插4个条，C(13,4)=13×12×11×10/4!=715个数。
如果n≥10，用插条法如何消除某一位或某几位数字不小于10的情况出现呢？
先从简单的情况入手。
例2：0~99999中，各位数字之和为17的数有多少个？
首先，还是应用消除0的插条法，一共5位数字，则17+5=22个样，插4个条，分成5份，每份最少是1，插条法计算共有C(21,4)=21!/(4!×17!)=5985
在这里给出一个自定义——插条五位数：插条五位数是由插条法形成的五位数，不是真正的五位数，其某一位或某几位数字不小于10，如：1231(10)，个位数为10；20(14)01，百位数为14；1(12)0(11)0，十位数为11，千位数为12等。
5985是各位数字之和为17的插条五位数的个数，显然过大了，因为里面包含了某一位数字不小于10的情况，如：百位数字为12，又如，千位数字为16等等。那么，如何消除这种情况呢？我的方法是扣除10。
之所以说本例简单，是因为各位数字之和为17，最多只可能有1位数字不小于10。既然最多只能有一位数字不小于10，我们就想将这个10扣除掉。22-10=12样，11个空，插4个条，分成5份，每份最少是1，共有C(11,4)=330。这样，我们找到了330个五位数，其各位数字之和为7，任选其中一个五位数，任选其中某位数字+10，就构成了一个各位数字之和为17，且某一位数字不小于10的五位数；1个各位之和为7的五位数，可以变成5个各位数字之和为17，且某一位数字不小于10的五位数。
因此，0~99999中，各位数字之和为17的数为：
各位数字之和为17的插条五位数个数-5×各位数字之和为7的插条五位数个数，即：
C(21,4)-C(5,1)×C(11,4)=5985-5×330=4335（个）
五位数太多，我们可以用两位数和三位数的穷举法验算一下。
0~99中，各位数字之和为17的数只有2个：89和98，按照我的方法计算应该是：
C(18,1)-C(2,1)×C(8,1)=18-2×8=2（个）
0~999中，各位数字之和为17的数按照穷举法列出63个，这里不一一列出。按照我的方法计算得到了相同的结果：
C(19,2)-C(3,1)×C(9,2)=171-3×36=63（个）
再复杂一些的情况：
例3：0~99999中，各位数字之和为29的数有多少个？
各位数字之和为29，按照插条法计算时，最多可能有两位数字不小于10。
仍然按照前面的思路进行计算：
各位数字之和为29的插条五位数-某位数字不小于10的，各位数字之和为29插条五位数-某两位数字不小于10的，各位数字之和为29插条五位数
这时，那些有两位数字不小于10的插条五位数个数被减去了两次，需要补上；因此，
0~99999中，各位数字之和为29的数有：
各位数字之和为29的插条五位数-5×各位数字之和为19的插条五位数+10×各位数字之和为9的插条五位数，即：
C(33,4)-C(5,1)×C(23,4)+C(5,2)×C(13,4)=40920-5×8855+10×715=3795（个）
按照穷举法，0~9999，各位数字之和为29的个数共有120个（这里仍不一一列举），按照我的方法计算：
C(32,3)-C(4,1)×C(22,3)+C(4,2)×C(12,3)=4960-4×1540+6×220=120。
最后一例，0~99999，各位数字之和为45的数有多少个?
C(49,4)-C(5,1)×C(39,4)+C(5,2)×C(29,4)-C(5,3)×C(19,4)+C(5,4)×C(9,4)
=211876-5×82251+10×23751-10×3876+5×126
=211876-411255+237510-38760+630
=1
哈哈！我在开玩笑！不用算就知道是1，纯属理论验算而已。
请诸位多提意见和建议。
穷举法的问题在于，运用太多的加法，速度慢，是个水磨功夫；
在n≤9时，插条法无疑是最佳选择；但是，当n＞9时，插条法就显得无能为力，因为无法避免某位数字大于9的情况出现，如果n值比较小，还可以采用插条法结合穷举法的形式，但是，当n比较大是，也不适用了。
今天在研究其他问题时，无意中发现了一个当n比较大时，仍然可以用插条法的计算数字和为n的数之个数的方法，不知是否成熟，与大家探讨。
首先说一下插条法计算各位数字和n≤9的数字个数的方法。
例1：0~99999中，各位数字之和为9的数有多少个？
一共5位数字（各位数字均可以是0，下同），也就是说，在9个样，8个空，插4个条（分成5份），其中任何一份都可以是0（也就是说，任何一个空中都可以插2个、3个甚至4个条），这样是无法计算的，必须对其进行改进。
改进方法是，消除0。5位数字，各位数字之和为9，如果将每位数字都+1，就变成了5位数字，各位数字之和为14。14个样，13个空，插4个条，C(13,4)=13×12×11×10/4!=715个数。
如果n≥10，用插条法如何消除某一位或某几位数字不小于10的情况出现呢？
先从简单的情况入手。
例2：0~99999中，各位数字之和为17的数有多少个？
首先，还是应用消除0的插条法，一共5位数字，则17+5=22个样，插4个条，分成5份，每份最少是1，插条法计算共有C(21,4)=21!/(4!×17!)=5985
在这里给出一个自定义——插条五位数：插条五位数是由插条法形成的五位数，不是真正的五位数，其某一位或某几位数字不小于10，如：1231(10)，个位数为10；20(14)01，百位数为14；1(12)0(11)0，十位数为11，千位数为12等。
5985是各位数字之和为17的插条五位数的个数，显然过大了，因为里面包含了某一位数字不小于10的情况，如：百位数字为12，又如，千位数字为16等等。那么，如何消除这种情况呢？我的方法是扣除10。
之所以说本例简单，是因为各位数字之和为17，最多只可能有1位数字不小于10。既然最多只能有一位数字不小于10，我们就想将这个10扣除掉。22-10=12样，11个空，插4个条，分成5份，每份最少是1，共有C(11,4)=330。这样，我们找到了330个五位数，其各位数字之和为7，任选其中一个五位数，任选其中某位数字+10，就构成了一个各位数字之和为17，且某一位数字不小于10的五位数；1个各位之和为7的五位数，可以变成5个各位数字之和为17，且某一位数字不小于10的五位数。
因此，0~99999中，各位数字之和为17的数为：
各位数字之和为17的插条五位数个数-5×各位数字之和为7的插条五位数个数，即：
C(21,4)-C(5,1)×C(11,4)=5985-5×330=4335（个）
五位数太多，我们可以用两位数和三位数的穷举法验算一下。
0~99中，各位数字之和为17的数只有2个：89和98，按照我的方法计算应该是：
C(18,1)-C(2,1)×C(8,1)=18-2×8=2（个）
0~999中，各位数字之和为17的数按照穷举法列出63个，这里不一一列出。按照我的方法计算得到了相同的结果：
C(19,2)-C(3,1)×C(9,2)=171-3×36=63（个）
再复杂一些的情况：
例3：0~99999中，各位数字之和为29的数有多少个？
各位数字之和为29，按照插条法计算时，最多可能有两位数字不小于10。
仍然按照前面的思路进行计算：
各位数字之和为29的插条五位数-某位数字不小于10的，各位数字之和为29插条五位数-某两位数字不小于10的，各位数字之和为29插条五位数
这时，那些有两位数字不小于10的插条五位数个数被减去了两次，需要补上；因此，
0~99999中，各位数字之和为29的数有：
各位数字之和为29的插条五位数-5×各位数字之和为19的插条五位数+10×各位数字之和为9的插条五位数，即：
C(33,4)-C(5,1)×C(23,4)+C(5,2)×C(13,4)=40920-5×8855+10×715=3795（个）
按照穷举法，0~9999，各位数字之和为29的个数共有120个（这里仍不一一列举），按照我的方法计算：
C(32,3)-C(4,1)×C(22,3)+C(4,2)×C(12,3)=4960-4×1540+6×220=120。
最后一例，0~99999，各位数字之和为45的数有多少个?
C(49,4)-C(5,1)×C(39,4)+C(5,2)×C(29,4)-C(5,3)×C(19,4)+C(5,4)×C(9,4)
=211876-5×82251+10×23751-10×3876+5×126
=211876-411255+237510-38760+630
=1
哈哈！我在开玩笑！不用算就知道是1，纯属理论验算而已。
请诸位多提意见和建议。
