一、全国高中数学联赛
联赛分为一试、加试(即俗称的“二试”)。各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复赛”等等,都不是正式的全国联赛名称及程序。一试和加试均在每年10月中旬的第一个周日举行。
1.一试
考试时间为上午8:00-9:20,共80分钟。试题分填空题和解答题两部分,满分120分。其中填空题8道,每题8分;解答题3道,分别为16分、20分、20分。
****全国高中数学联赛的一试竞赛大纲,完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,即高考所规定的知识范围和方法,在方法的要求上略有提高,其中概率和微积分初步不考。
2.加试(二试)
考试时间为9:40-12:10,共150分钟。试题为四道解答题,前两道每题40分,后两道每题50分,满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学等。
****1、平面几何基本要求:掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求:面积和面积方法。几个重要的极值:到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。几何不等式。简单的等周问题。了解下述定理:在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。在面积一定的n边形的集合中,正n边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。几何中的运动:反射、平移、旋转。复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。
****2、代数在一试大纲的基础上另外要求的内容:周期函数与周期,带绝对值的函数的图像。三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。第二数学归纳法。递归,一阶、二阶递归,特征方程法。函数迭代,求n次迭代,简单的函数方程。n个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用。复数的指数形式,欧拉公式,棣莫佛定理,单位根,单位根的应用。圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。一元n次方程(多项式)根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理。简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质。
****3、立体几何多面角,多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。正多面体,欧拉定理。[3]体积证法。截面,会作截面、表面展开图。
****4、平面解析几何直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。二元一次不等式表示的区域。三角形的面积公式。圆锥曲线的切线和法线。圆的幂和根轴。
****5、其它抽屉原理。容斥原理。极端原理。集合的划分。覆盖。梅涅劳斯定理托勒密定理西姆松线的存在性及性质(西姆松定理)。赛瓦定理及其逆定理。
联赛分为一试、加试(即俗称的“二试”)。各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复赛”等等,都不是正式的全国联赛名称及程序。一试和加试均在每年10月中旬的第一个周日举行。
1.一试
考试时间为上午8:00-9:20,共80分钟。试题分填空题和解答题两部分,满分120分。其中填空题8道,每题8分;解答题3道,分别为16分、20分、20分。
****全国高中数学联赛的一试竞赛大纲,完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,即高考所规定的知识范围和方法,在方法的要求上略有提高,其中概率和微积分初步不考。
2.加试(二试)
考试时间为9:40-12:10,共150分钟。试题为四道解答题,前两道每题40分,后两道每题50分,满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学等。
****1、平面几何基本要求:掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。补充要求:面积和面积方法。几个重要的极值:到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。几何不等式。简单的等周问题。了解下述定理:在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。在面积一定的n边形的集合中,正n边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。几何中的运动:反射、平移、旋转。复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。
****2、代数在一试大纲的基础上另外要求的内容:周期函数与周期,带绝对值的函数的图像。三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。第二数学归纳法。递归,一阶、二阶递归,特征方程法。函数迭代,求n次迭代,简单的函数方程。n个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用。复数的指数形式,欧拉公式,棣莫佛定理,单位根,单位根的应用。圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。一元n次方程(多项式)根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理。简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质。
****3、立体几何多面角,多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。正多面体,欧拉定理。[3]体积证法。截面,会作截面、表面展开图。
****4、平面解析几何直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。二元一次不等式表示的区域。三角形的面积公式。圆锥曲线的切线和法线。圆的幂和根轴。
****5、其它抽屉原理。容斥原理。极端原理。集合的划分。覆盖。梅涅劳斯定理托勒密定理西姆松线的存在性及性质(西姆松定理)。赛瓦定理及其逆定理。