2014年押轴理科数学试卷
一、选择题
1、若复数，其中是虚数单位，则在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】，那么，∴答案B
2、已知的角所对的边分别为，若，则边 （ ）
A. B. C. D.
【解析】由正弦定理得，∴，答案B
3、过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若 则 （ ）
A. B. C. D.
【解析】由抛物线的性质知道，答案C
4、下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ）
A. B. ∁U∁U
C. D.
【解析】A:是的充分不必要条件；B:是的充要条件；C:是的充分不必要条件；∴答案D
5、已知棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为的正三角形，该三棱锥的侧视图可能为（ ）
【解析】侧视图是从左向右看，侧视图的底边长应当是正三角形的高，∴答案B
6、在区间上随机取一个，则的值在到之间的概率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】几何概型，，答案A
+7、如图所示，给出一个程序框图，若要使输入的值
与输出的值相等，则输入的这样的的值有（ ）个
A. B. C. D.
【解析】这样的的值只有，答案C
8、若等边的边长为，平面内一点，
满足,则 （ ）
A. B. C. D.
【解析】，
∴,∴答案A
9、定义：若函数的图像经过变换后所得图像对应函数的值域与的值域相同，则称变换是的“同值变换”.下面给出的四个函数及对应的变换,其中不属于的“同值变换”的是（ ）
A. 将函数的图像关于轴对称
B. 将函数的图像关于点轴对称
C. 将函数的图像关于轴对称
D. 将函数的图像关于点轴对称
【解析】的值域是，图像关于轴对称后值域变为答案C
10、下列四个命题：
其中的真命题是（ ）
A. B. C. D.
【解析】错误，正确，错误，正确，∴答案D
11、已知是不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【解析】设两条直线之间的夹角为，分析区域知为锐角，则，∴由弧长公式，∴，答案B
12、已知函数，下列命题：
①是奇函数；②是偶函数；③ 对定义域内的任意恒成立；
④当时，取得最小值
正确的个数有（ ）个
A. B. C. D.
【解析】分析的图像知道①错误；②正确；③正确；④错误，∴答案B
二、选择题
13、的展开式中的常数项等于 .（用数字作答）
【解析】由二项展开式的通项公式，∴，展开式中的常数⇔,∴，∴常数项，∴答案
14、已知，则 .
【解析】∵，∴，由正切的二倍角公式，∴答案
15、设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为 .
【解析】设切点为，斜率为，则切线方程为，整理后得到，另一方面双曲线的焦点在轴上，切线与双曲线的渐近线重合，即就是切线过原点，那么将代入直线的方程得到，∴直线的斜率为，此即，∴，∴答案
16、如图，已知正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列四个结论：
①存在点，使‖;
②存在点，使平面;
③与所成的角不可能等于；
④三棱锥的体积随动点而变化.
其中正确的是 .
【解析】设正方体的边长为，以点为坐标原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则,点,则,而，,
∴，因此，∴,∴,对于①而言就是否存在实数，使‖，而，
此即，这样的不存在，∴①错误；对于②而言就是否存在实数，使平面，首先我们在平面内任意找到两条相交直线的方向向量，不妨就找和，∴，于是⇒，即就是当为的中点的时候，∴②正确；同理，对于③而言，还是判断这样的实数是否存在，
，设其夹角为，则，令，此即，将上式平方解得，将回代原式结论成立，∴这样的存在；③错误；对于④来说，点无论在上怎样移动，底面的高不变,故而底面面积不变，三棱锥的高为定值，所以其体积不会随着点的变化而变化，故④错误，∴答案②
三、解答题
17、已知数列的前项和为且为正整数.
（Ⅰ）求的通项公式;
（Ⅱ）若恒成立，求实数的最大值.
【解析】（Ⅰ）当时，，⇒；
当时①⇒②,①②，因此，此即，所以数列是首项，公比的等比数列，∴；（Ⅱ）∵恒成立，，此即
∴，令，∴单调递增，只需小于等于的最小值即可，当时取得最小值，∴，实数的最大值为.
18、如图,平行四边形中, ,将沿折起到
的位置，使平面平面.
（Ⅰ）求证：;
（Ⅱ）若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】(Ⅰ)在中，由余弦定理:
,∴，∴和为直角三角形，此即而又是平面和平面的交线，且平面平面平面且平面，∴平面，同时平面,∴;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则,
,则,设平面的法向量为，则有,此即，令则，设直线与平面所成角为，则有.
19、某次考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时才可参加科目的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这次考试，科目每次考试成绩合格的概率为，科目每次考试成绩合格的概率为，假设每次考试成绩与否互不影响.
（Ⅰ）求该生不需要补考就可以获得证书的概率;
（Ⅱ）在这次考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求 的数学期望.
20、已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足.
（Ⅰ）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程;
（Ⅱ）若直线与（Ⅰ）中所求的点的轨迹交于不同的两点和, 为坐标原点，且,求的取值范围.
21、设函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，为整数，且当时，，求的最大值.
22、如图，是的直径， ,为上的点，是的角平分线，过点作交的延长线于,垂足为点.
（Ⅰ）求证：是的切线;
（Ⅱ）求证：.
23、在直角坐标系中，曲线的参数方程是：为参数，以原点为极点，的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到曲线上点的距离的最小值，并求此时点的直角坐标.
24、若不等式与不等式同解，而的解集为空集，求实数的取值范围.
一、选择题
1、若复数，其中是虚数单位，则在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】，那么，∴答案B
2、已知的角所对的边分别为，若，则边 （ ）
A. B. C. D.
【解析】由正弦定理得，∴，答案B
3、过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若 则 （ ）
A. B. C. D.
【解析】由抛物线的性质知道，答案C
4、下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ）
A. B. ∁U∁U
C. D.
【解析】A:是的充分不必要条件；B:是的充要条件；C:是的充分不必要条件；∴答案D
5、已知棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为的正三角形，该三棱锥的侧视图可能为（ ）
【解析】侧视图是从左向右看，侧视图的底边长应当是正三角形的高，∴答案B
6、在区间上随机取一个，则的值在到之间的概率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】几何概型，，答案A
+7、如图所示，给出一个程序框图，若要使输入的值
与输出的值相等，则输入的这样的的值有（ ）个
A. B. C. D.
【解析】这样的的值只有，答案C
8、若等边的边长为，平面内一点，
满足,则 （ ）
A. B. C. D.
【解析】，
∴,∴答案A
9、定义：若函数的图像经过变换后所得图像对应函数的值域与的值域相同，则称变换是的“同值变换”.下面给出的四个函数及对应的变换,其中不属于的“同值变换”的是（ ）
A. 将函数的图像关于轴对称
B. 将函数的图像关于点轴对称
C. 将函数的图像关于轴对称
D. 将函数的图像关于点轴对称
【解析】的值域是，图像关于轴对称后值域变为答案C
10、下列四个命题：
其中的真命题是（ ）
A. B. C. D.
【解析】错误，正确，错误，正确，∴答案D
11、已知是不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【解析】设两条直线之间的夹角为，分析区域知为锐角，则，∴由弧长公式，∴，答案B
12、已知函数，下列命题：
①是奇函数；②是偶函数；③ 对定义域内的任意恒成立；
④当时，取得最小值
正确的个数有（ ）个
A. B. C. D.
【解析】分析的图像知道①错误；②正确；③正确；④错误，∴答案B
二、选择题
13、的展开式中的常数项等于 .（用数字作答）
【解析】由二项展开式的通项公式，∴，展开式中的常数⇔,∴，∴常数项，∴答案
14、已知，则 .
【解析】∵，∴，由正切的二倍角公式，∴答案
15、设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为 .
【解析】设切点为，斜率为，则切线方程为，整理后得到，另一方面双曲线的焦点在轴上，切线与双曲线的渐近线重合，即就是切线过原点，那么将代入直线的方程得到，∴直线的斜率为，此即，∴，∴答案
16、如图，已知正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列四个结论：
①存在点，使‖;
②存在点，使平面;
③与所成的角不可能等于；
④三棱锥的体积随动点而变化.
其中正确的是 .
【解析】设正方体的边长为，以点为坐标原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则,点,则,而，,
∴，因此，∴,∴,对于①而言就是否存在实数，使‖，而，
此即，这样的不存在，∴①错误；对于②而言就是否存在实数，使平面，首先我们在平面内任意找到两条相交直线的方向向量，不妨就找和，∴，于是⇒，即就是当为的中点的时候，∴②正确；同理，对于③而言，还是判断这样的实数是否存在，
，设其夹角为，则，令，此即，将上式平方解得，将回代原式结论成立，∴这样的存在；③错误；对于④来说，点无论在上怎样移动，底面的高不变,故而底面面积不变，三棱锥的高为定值，所以其体积不会随着点的变化而变化，故④错误，∴答案②
三、解答题
17、已知数列的前项和为且为正整数.
（Ⅰ）求的通项公式;
（Ⅱ）若恒成立，求实数的最大值.
【解析】（Ⅰ）当时，，⇒；
当时①⇒②,①②，因此，此即，所以数列是首项，公比的等比数列，∴；（Ⅱ）∵恒成立，，此即
∴，令，∴单调递增，只需小于等于的最小值即可，当时取得最小值，∴，实数的最大值为.
18、如图,平行四边形中, ,将沿折起到
的位置，使平面平面.
（Ⅰ）求证：;
（Ⅱ）若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】(Ⅰ)在中，由余弦定理:
,∴，∴和为直角三角形，此即而又是平面和平面的交线，且平面平面平面且平面，∴平面，同时平面,∴;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则,
,则,设平面的法向量为，则有,此即，令则，设直线与平面所成角为，则有.
19、某次考试按科目、科目依次进行，只有当科目成绩合格时才可参加科目的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这次考试，科目每次考试成绩合格的概率为，科目每次考试成绩合格的概率为，假设每次考试成绩与否互不影响.
（Ⅰ）求该生不需要补考就可以获得证书的概率;
（Ⅱ）在这次考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求 的数学期望.
20、已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足.
（Ⅰ）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程;
（Ⅱ）若直线与（Ⅰ）中所求的点的轨迹交于不同的两点和, 为坐标原点，且,求的取值范围.
21、设函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若，为整数，且当时，，求的最大值.
22、如图，是的直径， ,为上的点，是的角平分线，过点作交的延长线于,垂足为点.
（Ⅰ）求证：是的切线;
（Ⅱ）求证：.
23、在直角坐标系中，曲线的参数方程是：为参数，以原点为极点，的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到曲线上点的距离的最小值，并求此时点的直角坐标.
24、若不等式与不等式同解，而的解集为空集，求实数的取值范围.
