（上海新知杯初中数学竞赛）已知整数p，q满足p＋q＝2 010，且关于x的一元二次方程67x2＋px＋q＝0的两个根均为正整数，则p＝________．
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主讲:高秀彩
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【思路分析】
因为方程有两个正整数根，说明根的判别式△＝b2－4ac≥0，有根与系数的关系可知：x1＋x2＞0；x1．x2＞0，再由已知条件整数p，q满足p＋q＝2010，由此可以求出p的取值．
【解析过程】
解：令p＝67a，q＝67b，可知a＋b＝30，∴由根与系数的关系可知：：x1＋x2＝＝－a，x1．x2＝b＝，又∵x1x2−x1−x2＝a＋b＝30，即(x1−1)(x2−1)＝31，
根据 x1和x2是正整数，∴x1−1＝1，x2−1＝31，解得a＝－34，b＝64，∴p＝67a＝－2278，故答案为：p＝－2278．
【答案】
－2278
【总结】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如任意一元二次方程a2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个根x1，x2，则x1＋x2＝－；x1．x2＝．
帮助中心
400-676-8080
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因为方程有两个正整数根，说明根的判别式△＝b2－4ac≥0，有根与系数的关系可知：x1＋x2＞0；x1．x2＞0，再由已知条件整数p，q满足p＋q＝2010，由此可以求出p的取值．
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解：令p＝67a，q＝67b，可知a＋b＝30，∴由根与系数的关系可知：：x1＋x2＝＝－a，x1．x2＝b＝，又∵x1x2−x1−x2＝a＋b＝30，即(x1−1)(x2−1)＝31，
根据 x1和x2是正整数，∴x1−1＝1，x2−1＝31，解得a＝－34，b＝64，∴p＝67a＝－2278，故答案为：p＝－2278．
【答案】
－2278
【总结】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如任意一元二次方程a2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个根x1，x2，则x1＋x2＝－；x1．x2＝．
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