连续介质的不可压缩流是不是可以

连续介质的不可压缩流是不是可以确定其密度为一个常数？
我的想法是，根据连续性微分方程知道流场上某固定位置的体积元密度的当地变化率和净流入量之和是0，如果密度是常数，则显然满足。如果不可压缩，则只能根据场方程得到某时刻经该点的体积元流体的密度不变。由于位置有任意性，所以在某时刻经过流场里所有点的所有流体体积元的密度都是定值。而时间也是可变的，所以在这一时刻在该点的体积元下一时刻到的位置处的密度和该点一样。从这里看，似乎密度为定值和不可压缩不等价。
但是从另一个角度看，用欧拉法表示的密度导数为0就是不可压缩。这意味着密度确实变化率为0，也就是确实是常数。
我绕糊涂了。到底哪个分析是对的？错的那个错在哪？希望各位能给个答复，谢谢各位了！