那么今天我们讲什么呢。还记得我们用电子发现的例子说过物理学里面理论和实验的关系的事儿么。哈勃定律只告诉我们宇宙看起来是这样的，但物理学并不是你知道它看起来是这样就行了，我们需要理解它为什么是这样。所以说，上次讲实验，这次讲理论，看起来是个很合适的安排。
现在大家把物理学中研究宇宙的这个分支叫做宇宙学，顾名思义，就是研究宇宙的科学。其实这是个很新的名词，在哈勃和爱因斯坦的年代以前，人们很难想象把宇宙本身作为一门科学来研究是个什么样子，或是有什么必要。那时候只有天文学，而且甚至不算是物理学的一个分支。不知是哪位物理学家说过这么一句话，“除了物理学，别的自然科学都是在集邮而已”，然后就有人调侃道，其实天文学才最像是在集邮——今天观测一颗星星看看有什么不同之处，明天再观测一颗，反正天上的星星千千万，要是有一天把所有星星都观测完，天文学就结束了。而物理学家被融入其中是因为天文观测的对象是被物理学描述得很好的物理系统，他们可以把天空当成实验室，然后通过计算验证自己的理论，然后发文章；或是发文章说有个新的邮票价值连城但你们没看见，赶紧去找。海王星就是这么被发现的。

“天文学像是在集邮。”

那么在现代的以广义相对论为基础的宇宙学中，“时空”这个物理对象是如何进行描述的呢?
实际上，描述时空所用的是微分几何里面“流形（Manifold）”这个概念。由于它本身复杂度比较高，所以咱们不要去追究流形的学术定义是什么，而是通过举一些例子来认识。一个比较具体的，大家都在举的例子，就是地球表面，或者说可以抽象成一个球面，它是一个二维流型；一个圆柱体，比如水杯的表面也是二维流型。在纸上画一条线段或是圈一个圈（这里特指这个圈本身而不包括围成的区域），那就是个一维流形；一个平面是二维流型，一个三维的空间，比如你家房子内部，就是个三维流形。举完例子首先来明确一个概念：尽管我们用各种物体来举例子，但这里强调的是一个空间的概念，而不是那个物体本身，譬如说，二维的球面或是平面上面可以生活着二维的片形虫，一维的圈上面可以生活着线形虫，三维空间里生活着我们形虫……“微分几何”这个学科本身，可以说是研究不同的流形“空间”里面的几何关系，比如球面和平面上的几何学就不一样，这个众所周知。

莫比乌斯环也是个二维流形。

除此之外，在流形上研究几何有个特别需要注意的地方，那就是流形本身的很多性质需要人为规定，有了这些规定你才能去谈论相应的几何关系，用梁灿彬老师的话说，就是你花了那么多钱才能买那么多菜。举例来说，你无法谈论一个平面上面的点的位置是什么，除非你在平面上画好网格，并且规定哪条线代表一，哪条线代表二。这个人为规定的网格叫做坐标系（coordinate system）。线段，球面或者三维的各种流形也是一样，比如地球表面的坐标系我们叫经纬度。
另一个十分典型的例子是，即使有了坐标系那套网格，你也没有办法谈论这个流形上两个点之间的距离是多大，除非你人为规定如何通过坐标来计算距离的方法，这个计算的方法被叫做度规（Metric），在数学上是一组数，可能与坐标有关。在一个平面上，如果我们知道了两个点横纵坐标的间隔，我们可以通过简单的勾股定理来计算出两个点的距离，可这个方法在球面上就不适用,这就是因为我们采用的度规的不同。当然，在这个问题上你也可以说，被人为规定了勾股定理那套度规的流形才是平面，被人为规定了球面度规的流形才是球面，总而言之，度规，是流形本身的性质，需要人为给定之后它才成为相应的流形（当然，单单一个度规不足以限定流形的所有几何特性）。

流形上的坐标网格。

接着，我们把话题拉回到我们的时空——时空被描述成一个流形。那么根据刚才的讨论，这个时空流形的性质是不确定的，需要通过规定度规才能确定。作为一个物理对象，这个度规不再是“人为”规定的，而是取决于身处流形之中的物质和能量的分布。这就是广义相对论的引力理论，总之一句话，物质分布决定着时空度规（当然还有另外一句就是时空度规反作用于物质，因为物质实际上要在时空这个流形里运动，所以这也是很显然的事）。以这样一个逻辑讲出来，也许广义相对论的理解会变得简单许多。作为科普，一些读者也许会注意到，几乎所有关于广义相对论的科普中，所说的都是物质分布决定着时空曲率，而不是说的时空度规。那么我现在告诉你，对于微分几何研究的大多数流形（学术上叫做“无挠的”），给定了度规，曲率就是唯一确定的。这下逻辑彻底通了吧。
那么好，知道了这些以后，问题就来了，现在我们的宇宙“流形”中，有一个遥远的星系，我问你我们到它的距离是多大？如果你领会了上一段再前面那段所说的内容，你应该啪啪打我脸，告诉我，是你教我们先人为规定宇宙的“度规”之后才能问距离的，这会儿怎么说话不算？但如果你还同时领会了上一段的内容，那你不会打我脸了，你会告诉我，我们确实需要知道宇宙的度规，但这个不能靠猜的，我们要知道宇宙中物质的分布是什么样的，然后拿着广义相对论给我们的方程来算，算出来这个度规我们自然就能计算我们到那个星系的距离了。如果你能回答到这儿，那其实不能说明我科普得好，只能说明你实在太棒了。

引力波是时空度规振荡的传播。

然后有人真的拿着广义相对论的方程这么算了。第一个做了推导的人正是爱因斯坦本人，他的结论是，无论宇宙的质量能量分布是什么样的，根据他的方程，他所解出的度规要么随时间增加，要么随时间减小，并不存在一个不随时间变化的度规。换言之，当我们测量我们到那个星系的距离时，要么会看到它随时间增加，要么会看到它随时间减小，再换言之，宇宙要么正在膨胀，要么正在收缩。起初他认为这不符合宇宙不变这个由来已久的认知，所以在方程里加了宇宙常数项，这都是老生常谈的话题了。直到后来哈勃发现，这些遥远星系的距离真的在随时间的增加而增加，宇宙真的在膨胀！这就是广义相对论的体系对于宇宙膨胀的解释。话说到此，我们可以回到第一部分最开始就说到的一句话了——宇宙膨胀的学术全称，叫做空间的度规膨胀。并不是星系真的正在飞离彼此，而是空间的度规正在随时间增加，所以距离才变大了。

加入了宇宙常数项的爱因斯坦方程。

那么，由这种各向同性处处均匀同一的宇宙分布解出的度规，或者叫弗雷德曼度规，会是什么样子的呢？这里我们应用一个简单的逻辑，即相同的原因产生相同的结果。既然度规是由宇宙中质量能量分布决定的，那么我们没有任何理由能够从处处相同的分布得出一个不处处相同的度规来。所以说，弗雷德曼度规，在全宇宙都相同，只可能和时间有关（事实上它也确实和时间有关，因为宇宙确实在膨胀）。有了度规就可以计算星系间的实际距离了。接着，我们继续这个“相同原因产生相同结果”的逻辑，来看一下这样得出的星系间距具有什么样的特点。
现在我这样问：如果说，一个在坐标网格上与我们的坐标差是一个单位的星系，到我们的实际距离是一亿光年，那么另一个与我们相差两个单位的星系，是不是到我们就是两亿光年呢？答案是正确的。如果你不觉得答案显然的话，我们可以给出这样的论证：首先，虽然我们没有说这两个星系在一个方向上，但由于空间的各向同性，我们可以把较远的那个星系旋转到较近的那个星系的延长线上来讨论，这是等效的，旋转过程中距离不变；其次，现在我们发现，我们到第一个星系的距离是一个单位，第一个星系到第二个的距离也是一个单位了（因为它们共线了），那么，既然实际距离是由度规和坐标距离计算得到，而度规又在全宇宙都相同，那么同样的一个单位的坐标距离一定会给出同样的一亿光年的实际距离。再一次地，因为他们共线，我们只要把这两个一亿光年相加就能得到我们到第二个星系的距离——两亿光年。以此类推，我们会看到，距我们一点五个坐标单位的星系实际距离是一点五亿光年，而距我们一百个坐标单位的星系实际距离是一百亿光年。简而言之，所有星系到我们的实际距离与它们到我们的坐标距离成正比，并且这个比例系数与时间有关。这个结论非常重要，而这个比例系数是宇宙学中最重要的一个量，叫做“尺度因子（scale factor）”，因为这实际上表示了宇宙膨胀的尺度。

弗雷德曼方程可以求解出尺度因子随时间的不同变化关系，表示宇宙的不同发展过程。

当然，哈勃定律是个实验定律，是通过观测得到的，原则上我们不能说自己推导出了哈勃定律，我们所做的是从广义相对论的时空观出发，通过逻辑演绎和数学推导，最终推导出了和哈勃定律形式一样的一个公式。换句话说，广义相对论使我们理解了哈勃定律。不仅如此，我们通过这个推导还能够计算哈勃常数究竟等于多少：H= a’(t)/a(t)。当然这里我们没法真的计算它，因为我们不知道尺度因子随着时间究竟是怎么变化的，那要通过具体求解弗雷德曼方程得到。不过有一点我们可以肯定，除非在某些个别的情况下（懂些高数的人清楚这指的是指数膨胀的情况），哈勃常数都是随时间变化的。这说明什么？
这说明很多问题。包括那个超光速退行的问题的答案其实都在这里面，具体地，我们要花费几乎整个第三部分的篇幅来分析这些。现在我们只说一点——哈勃常数代表星系退行速度和距离的关系，但我们向遥远的星系望去时，我们实际上看到的是那个星系的过去，比如说，我们看二十亿光年远的星系时，实际上看到的可能是它二十亿年前的情景，而我们看到五十亿光年远时，实际上看到的可能是它五十亿年前的情景。现在我们知道，哈勃常数在二十亿年前和五十亿年并不一样！所以二十亿光年远处，退行速度和距离的比例关系，与五十亿光年处的这个比例关系其实并不一样。从观测的直观角度来说，我们会发现哈勃定律其实根本就不成立。事实上也确实如此，之所以当年哈勃会测量到准确的哈勃定律，那是因为我们看得不够远——在大约十几亿光年的范围内，哈勃定律确实符合得很好，但再往远处望去，这个比例系数就明显偏高了。

这是匀速膨胀（形状因子与时间成正比）的情况下哈勃常数随时间的变化。很简单地，它和宇宙的年龄成反比。

以上就是第二部分的内容了。总结一下的话，我们通过在广义相对论的框架下分析时空的结构，理解了宇宙的膨胀，甚至推导出了哈勃定律的形式。写完之后才发现，尽管笔者已经尽可能地用通俗的预言叙述这一切，这部分看起来还是显得有些太学术了，不过对于理解宇宙膨胀来说，这是必要的一部分。要我自己说的话，这三部分内容，第一部分是最易懂的，第二部分是最学术的，而第三部分应该会是最震撼的。无论这一部分你看懂没有，在接下来这的部分里，我都将邀请大家一起来领略这个宇宙的真相。

夜空的长时间曝光照片。
（本部分完）