应该是要用到数学归纳法⊙▽⊙

有人吗有人吗

讨论数列单调性。只能递增

然后归纳法

令A={n: a(n)>n}，B={n: a(n)<n}。
有这几种情况：
（1）A、B均空，则对任意n有a(n)=n，代入原条件可知a(n)=n是一个解。
（2）A空、B非空，令q∈B任意，则a(q)<q，而由a(a(q))+a(q)=2q可得a(a(q))>q>a(q)，故a(q)∈A，但这与A为空集矛盾。
（3）A非空。A是正整数集的子集，故必定有最小元素。令p为A的最小元素，则a(p)>p，而由a(a(p))+a(p)=2p，可得a(a(p))<p<a(p)，从而a(p)∈B，再由a(a(a(p)))+a(a(p))=2a(p)以及a(a(p))<a(p)，可得a(a(a(p)))>a(p)>a(a(p))，故a(a(p))∈A，然而a(a(p))<p，这与p是A的最小元素矛盾。
综上可知只可能是A、B均空，从而a(n)=n。

记 a[n]=f(n)
若 f(n)<pn
则 f(f(n))<pf(n)
有 f(f(n))+f(n)<(p+1)f(n)
也即 2n<(p+1)f(n)
得 f(n)>2n/(p+1)
于是 f(f(n))>2f(n)/(p+1)
因此 f(f(n))+f(n)> (p+3)f(n)/(p+1)
也即 2n>(p+3)f(n)/(p+1)
得 f(n)<2(p+1)n/(p+3)
于是你从 f(n)<pn 可以得到 f(n)<2(p+1)n/(p+3)
而显然有 f(n)<2n
于是你可以得到一个数列 2,6/5,22/21,... 求极限即可知 f(n)<=n
反方向同理

显然，如果a(m)=a(n),则2m=2n,m=n,所以a(n)互不相等，从而2(1+2+...n)=a(1)+...a(n)+a(a(1))+...a(a(n))>=(1+...n)+(1+...n),正好取等，所以a(1)+...a(n)=1+...n对于任意n都成立，所以a(n)=n