解:
根据题意, 有
R = (n--> ∞ ) lim { / an/an+1/}
(1) 令 bn = (n+1) * an+1
则该级数的收敛半径为
R1 = (n--> ∞ ) lim { / bn/bn+1 / } = (n--> ∞ ) lim { [ ( n+1)/(n+2)] * / an+1/an+2 / }
= (n--> ∞ ) lim { [ ( n+1)/(n+2)] } * (n--> ∞ ) lim { / an+1/an+2 / }
= 1 * R1 = R1
(3) 令 bn = an / 3^n
则级数的收敛半径为
R1 = (n--> ∞ ) lim { / bn/bn+1 / } = (n--> ∞ ) lim { [ 3^( n+1) / 3^n ] * / an/an+1 / }
= 3 * (n--> ∞ ) lim { / an/an+1 /}
= 3 * R1
(4) 令 bn = an / n!
则该级数的收敛半径为
R1 = (n--> ∞ ) lim { / bn/bn+1 / } = (n--> ∞ ) lim { [ (n+1)! / n!] * / an/an+1 / }
= (n--> ∞ ) lim { (n+1) } * (n--> ∞ ) lim { / an/an+1 /}
= + ∞ * R1 = + ∞
(2)
∑ [ ( an - 1 ) / n ] * x^n = ∑ [ ( an / n ) * x^n - ∑ (1 / n ) * x^n
∑ [ ( an / n ) * x^n 的收敛半径为 R,
∑ (1 / n ) * x^n 的收敛半径为 1
故级数∑ [ ( an - 1 ) / n ] * x^n 的收敛半径为
R1 = min { R, 1 }