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四维几何基础知识:前言和第一章

前言 (部分)
在<四维几何基础知识>系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,成为四维几何形在本文中的称呼.
原因之一是, ”多胞体” “超球体”,这样的称呼不严谨.我们在中学时代就学过,一维为线,二维为面,三维为体,到了第四维,应该用另一个称呼,不适合再称呼为”某某体”,这是概念上的问题
原因之二是使用不便,在互联网上,我只查到”正五胞体”, ”正八胞体”之类几个简单的四维图形名称,再复杂一点的图形就查不到了,而我采用”五体夬”,”正方夬”这一系列的,中国数学几何的传统命名方式,就算不知道新图形的名称,也能按照传统命名规则推算出来.
至于这个”夬(jué)”字,是我在字典里找的,之所以选择这个字,因为它比较生僻,含义少,不会产生歧义,笔划简单适合使用频率比较高的书写.在本人的系列文章中, ”夬(jué)”字只是作为四维几何形的代称,不是重新命名.目前四维几何形的正式名称仍是”多胞体”.


第一章,发了多次,都被删了,不知什么原因.


第一章 简单的四维夬
本章初步介绍几类简单的四维夬.
一> 五体夬
如何得到一个五体夬,有很多种方法,本例用的是”中心牵引法”,为了解释这个方法,我们先看看从三角形得到四面体的过程,下图一是一个四维坐标中的等边三角形.

这个正三角形看上去很”歪”,比三维坐标中的正三角形还要”歪”,我们要在二维平面中表现四维图形,只能将图形尽量压缩.
把正三角形的中心点连接三个顶点,得到三条线段,这就是要形成的四面体的另三条棱.


用一根线”系住”中心点,向上牵引,同时中间三条棱的一端也向上抬升(图二).

当牵引的距离为棱长的(√6)/3时,就得到了一个正四面体(图三)
.


用同样的思路,我们将一个正四面体的中心,连接四个顶点,形成正五体夬的另四条棱,,然后把中心点向第四维正方向牵引.(图四)

将中心点向第四维正方向牵引距离为棱长的(√10)/4后,得到一个正五体夬.(图五)



这个图是五个正四面体围合成一个五体夬,但这样挤在一起是很难看清楚的,可以把它”炸开”看看.(图六)

这五个体全是正四面体,只是看上去有一些变形.蓝色的”底体”在xyz体空间中,如果把这个空间看成我们生活的宇宙空间,另四个带绿棱的正四面体就在我们”摸不着”的四维空间中.
一> 正方夬
有了以上的经验,介绍正方夬的形成就容易多了.先看一个四维坐标中的正方体.



将正方体原地复制,整体向第四维轴,即W轴正方向牵引,距离为一个棱长.(图八)

把两个正方体的八个顶点,一一对应的连接起来,形成了六个正方体,这八个体围合成一个正方夬.(图九)


“炸开”看看.(图十)

(图十)中的八个正方体,黑色的是底体(在xyz轴的体空间中),和它在W轴正方向上的平行体,另六个彩色的侧体分别处在x,y,z轴方向上,正负方向各一个,它们都处于W轴正方向的四维空间中,紧靠着底空间,并且各有一个面,与底空间中的底体连接.
侧体可以看作是:正方体从底空间向W轴正方向牵引的过程中,六个面所形成的路径.
一> 圆夬
我们先看看四维坐标中的球体,它看上去是个扁的,(图十一),这是因为坐标的关系,它在平面显示时被压缩了.


现在我们把这个球体想象成无数个”球壳”,从大到小,一层层的套在一起,组成了这个实心的球体.用一条线的一端连接球心,连带着这无数个球壳向W轴正方向牵引,在此过程中,球壳从大至小,逐层剥落.注意, 剥落的过程不是匀速的,这个值和sin的值有关系,而且这些球壳的面积有一定量的拉伸(图十二).

当牵引的距离达到球的半径R时,所有的球壳剥落完毕,最小的”球壳”,就是原来的中心点,现在它移动了R的距离.
这些在W轴方向上,按大小顺序排列的无数个球壳,围合成了半个圆夬.
用同样的方法,向W轴负方向牵引,得到另半个圆夬.(图十三)



这个圆夬,看上去还是一个圆球,其实,不论圆周,圆面,圆球,还是圆夬,它们都是圆的,画在纸上不会是其它形状,我们只能将它想象成无数个球体叠加,球半径由底空间的最大圆球开始,向W轴方向以cos值减小.(图十四)



四> 参数
以上介绍了四维空间中比较简单的三个几何形,下面是它们相关的一些参数.
正五体夬
5体 10面 10棱 5顶点
设边长为1: 侧高(√6)/3 底高(√10)/4 中心高(√10)/20(即内切圆夬半径) 外接圆夬半径(√10)/5
夬积 J=(1/4)*h*V=(√5)/96
其中h为底高,V是底体的体积.
正方夬
8体 24面 32棱 16顶点
设边长为1: 内切圆夬半径1/2 外接圆夬半径为 1
夬积 1
对角体:1*1*(√2) 对角面:1*(√3) 对角线 2
圆夬
设半径为r.
表体积 2(π∧2)(r∧3) 夬积 1/2(π∧2)(r∧4)
夬积公式
在本系列文章中,我们约定L表示线段长度,S表示面积,V表示体积,J表示夬积.
夬积有两种计算方法
J=L*V ; J=S1*S2 具体用哪个公式,以所知道的条件来决定.



五> 例题
例一:已知一等腰五体夬,它的底体为棱长为1的正四面体,它的外接圆夬半径为2,求此五体夬的夬积.(图十五)


答: 设底体的中心点为P, 底体的一个顶点为O,在三维坐标中,我们可以计算得到棱长为1的正四面体的体积为(√2)/12, 计算得到OP的长度为(√6)/4.


在等腰五体夬中,它的底体的高h是经过外接圆夬夬心的,所以圆夬心C在高h上,CO为圆夬半径,CP⊥OP,可求得CP=(√58)/4 ,所以此等腰五体夬的夬积:


J=(1/4)h*V=(1/4) *(2+(√58)/4)*(√2)/12=(√2)/24+(√29)/96
一个答案要分三个帖才能发出来,我对百度吧的发帖规则深感陶醉.


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