一．函数单调性的定义
如果函数f(x)对区间D内的任意x1,x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D内是增函数；当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在D内是减函数。
二．单调性的定义的等价形式

三．判断函数的单调性的方法
1．用定义；
用定义法证明函数单调性的一般步骤：
(1)取值：即设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2
(2)作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
(3)定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．
(4)下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．
2．用已知函数的单调性；
3．如果f(x)在区间D上是增(减)函数，那么f(x)在D的任一非空子区间上也是增(减)函数；
4．图象法；
5．在公共定义域内，增函数+增函数是增函数；减函数+减函数是减函数；增函数-减函数是增函数；减函数-增函数是减函数．
四．复合函数的单调性
定理：设函数u=g(x)在区间M上有意义，函数y=f(u)在区间N上有意义，且x∈M当时，u∈N．有以下四种情况：
1．若u=g(x)在M上是增函数，y=f(u)在上是增函数，则y=f[g(x)]在M上也是增函数；
2．若u=g(x)在M上是增函数，y=f(u)在上是减函数，则y=f[g(x)]在M上也是减函数；
3．若u=g(x)在M上是减函数，y=f(u)在上是增函数，则y=f[g(x)]在M上也是减函数；
4．若u=g(x)在M上是减函数，y=f(u)在上是减函数，则y=f[g(x)]在M上也是增函数．
即：同增异减．
注意：内层函数u=g(x)的值域是外层函数y=f(u)的定义域的子集．
函数的单调性在函数的运用上是非常重要的知识点，比如1．比较函数值的大小；2．可用来解不等式；3．求函数的值域或最值等．
组合教育强调，在学习函数单调性的时候要学会利用定义判断或证明函数的单调性，用函数单调性的定义证明函数的增减性，求函数的单调区间，单调性等。