阻碍相对论发展的最大内在因素是问题的双重性,我们之前提出的两个问题已经表明了这一点。因此理论发展了分为两个步骤,并在时间上分开。步骤中的第一步,即引力理论,是基于上面讨论的等效原理,并做以下考虑:根据狭义相对论,光具有恒定的传播速度。如果在时间X4,真空中的光线从一个由三维坐标系X1、X2和X3标定的一个点开始传播。以球面波的形式传播并到达相邻点X1+dX1,X2+dX2,X3+dX3,时间变为X4+dX4,我们引入光速c并写出表达式:
该表达式表示四维中相邻时空点之间的客观关系,并且适用于所有惯性系,前提是坐标变换服从狭义相对论。然而,如果根据广义相对论,我们允许坐标的连续变换,坐标关系呈现出更为一般的形式:
∑gikdXidXk=0
gik是坐标的某些函数,如果应用连续坐标变换,gik将以确定的方式变换。根据等效原理,gik函数描述了一个特殊的重力场:一个可以通过“无引力场”空间变换得到的场(等效原理是广义相对论的第一个基本原理,是整个广义相对论理论的核心。这个原理的基本含义是指重力场与以适当加速度运动的参考系所产生的惯性力是等价的。换句话说,在一个加速上升的封闭电梯里,你看不到外面的风景,那么你感受到的惯性力与引力是不可区分的。)同时gik满足一个特定的变换规则。从数学上来说,它们是有对称性的张量的一部分,在所有变换中都存在,对称性表述如下:
gik=gki
虽然我们不能指望这样的对称张量能描述最一般的引力场,但它能很好地描述特定情况下的“纯引力场”。所以至少在特殊情况下,广义相对论显然要假设“场”是对称张量场。
如此一来只剩下第二步了:对于一个对称张量场,我们可以采用怎样的协变场定律?
这个问题在我们现今的时代不难回答,这是因为在曲面的度规理论中已经包含了最必要的数学概念。这些数学概念是一个世纪以前由高斯 发明的,并由黎曼拓展到一个任意维数的流形上。广义相对论可以假设场gik的偏微分方程,而且微分不能低于二阶,即它们必须至少包含gik的二阶导数。假设场方程中没有出现比二阶导更高的项,那么该定律就在数学上被广义相对论确定了。这个方程组可以被写成这种形式:
Rik=0
上式中,Rik是里奇张量。
让这个Rik 以和gik相同的方式变换,它们都是对称张量。
在把质量表示为场的奇点的情况下,这些微分方程完美替代了牛顿的天体运动理论。这些微分方程涵盖了力的定律和运动法则,而且在非惯性系时也适用。
事实是当质量以奇点的形式出现时,就已经表明了那些质量本身不能被对称gik场,或着说我们常说的“引力场”所解释。显然,一个完备的相对性的场理论必须基于一个更复杂的性质,而对对称张量场进行推广。
图片来源:Time Travel Research Center