猜帽子——无穷大版

这是一道十分有趣的题目，理解这道题需要对公理化集合论有一个基础的认识。
提示：
当我们进入“无限”的领域，构造性的证明就变得困难起来。就这道题目来说，我们是不可能找到这样的策略的。因为找到这样的策略需要无穷大的计算量，描述这样的策略需要无穷大的信息量，执行这样的策略也需要无穷大的时间。
但“我们”找不到策略，不代表“他们”找不到，因为“他们”有着无限强大的超级记忆与计算能力，但“我们”没有。事实上，“我们”虽然找不到这样的策略，但“我们”却可以证明这样的策略是存在的，而“他们”则可以找到这个策略。

对于任意两个无穷长的序列，经过有限长的颜色对比后，发现两个序列后面颜色都是一样的话，就把它们放入一个集合中，然后选取一个代表元。

完整叙述一下答案：
对于所有可能的帽子序列，可以定义一种等价关系：两个序列等价，当且仅当它们只有有限个位置不同。根据幂集公理和替代公理，可以将所有帽子序列的集合划分为一系列等价类，使得每一类中的序列都彼此等价，且不同等价类中的序列都不等价。
根据选择公理，存在选择函数f，使得对每一个等价类G，都可以在它的元素中选择一个代表元f(G)∈G。这些人可以事先商定一个选择函数f。由于每个人仅仅看不见自己的帽子，他们总可以判断当前的序列s属于哪一个等价类G。接下来他们只需猜测f(G)中自己的帽子颜色，即可保证所有人的猜测组成序列f(G)。由于f(G)∈G，因此f(G)等价于s，亦即f(G)与s仅有有限个位置不同。