题是错的，
在p,q均小于100时就有4组解，
在p,q均小于1000时就有11组解
5*7^2+5*7*29+4*29^2=68^2
5*11^2+5*11*409+4*409^2=832^2
5*17^2+5*17*79+4*79^2=182^2
5*23^2+5*23*349+4*349^2=728^2
5*29^2+5*29*31+4*31^2=112^2
5*31^2+5*31*641+4*641^2=1322^2
5*37^2+5*37*59+4*59^2=178^2
5*41^2+5*41*499+4*499^2=1052^2
5*53^2+5*53*139+4*139^2=358^2
5*61^2+5*61*191+4*191^2=472^2
5*101^2+5*101*571+4*571^2=1282^2
通解可以分为4类
（1）p=4m+1,q=m²-2m-4,a=2m²+m+7
要求p,q为素数，在m<10000时此类就有320组解
（2）p=8m+1,q=20m²-1，a=40m²+10m+2
要求p,q为素数，在m<10000时此类就有458组解
（3）p=8m-1,q=44m²-16m+1，a=88m²-22m+2
要求p,q为素数，在m<10000时此类就有482组解
(4)p =8m-5, q=220m²-280m+89, a=440m²-550m+172
要求p,q为素数，在m<10000时此类就有428组解
我估计解是无限个。

你先确定题是不是对的

原题应该是p²+5pq+4q²=a² 其中假定a>0
配方可得到 a²-(p+2q)²=pq
因此有 （a-p-2q)(a+p+2q)=pq
由于a+p+2q大于p 同时也大于q
所以只能 a-p-2q=1,a+p+2q=pq
q=2 时 无解
q≠2时 可得到 p=4+9/(q-2)，a=2q+5+9/(q-2)
可知q-2|9 可得到q=3或5或11,对应p=13,7,5，a=20,18,28
三组解。

这题考试没思路的话，我都是蒙的

牛逼🐮🍺