现代数学很多研究都是混在一起的。大多数时候就是分成两类,代数和几何。带有“分析”这两个字的科目大部分时候都是以几何作为背景的。
几何不是你想的那样研究一下三角形,椭球什么的,算一算体积,证明一下哪条边和哪条边垂直这种,这种是古典几何,给中学生玩的。现代几何是数学里最大的一块,很多东西你觉得和几何没有半毛钱关系,但实际上是几何问题。比如各种函数空间,方程的解集,算子的解空间(这个也是函数空间的一种),复多项式不定方程的解(代数几何),经典力学,量子理论(辛几何),弦理论等等,都是几何里研究的问题。另外也有研究几何本身自己的内容的(微分几何),比如研究流形,复形,轨形本身的性质。
另外几何里也有很多人研究代数的,比如同调代数,交换代数,非交换代数,代数几何,代数拓扑,.....都是几何里很重要的研究对象。
代数我虽然不是很熟,研究生以后的我基本上不知道他们具体在做什么。但我知道代数里也需要很多几何的理论去辅助。比如现代数论,最核心的工具就是抽象代数,伽罗瓦理论,以及复分析,代数几何,同调代数等。后边三个都是几何里的内容
反正大的就两类,但实际上互相都在用对方的知识去搞研究