我们将“证明”任意两个正整数相等，例如5＝10．
首先给出一个定义：如果a和b是两个不等的正整数，我们定义max（a，b）是a，b中较大的一个．如果a＝b，我们令max（a，b）＝a＝b．例如max（3，5）＝max（5，3）＝5，而max（4，4）＝4．现在让An是这样的命题：“如果a，b是使max（a，b）＝n的任意两个正整数，则a＝b．”
a）假设Ar成立；设a，b是任意两个使得max（a，b）＝r＋1的正整数．考虑两个整数
α＝a－1，
β＝b－1，
则max（α，β）＝r，又由于我们假设Ar成立，因此α＝β，由此知a＝b．因此Ar＋1成立．
b）A1显然成立．因为如果max（a，b）＝1，则由于a，b假设是正整数，所以都必须等于1．因此按数学归纳法，An对任意的n成立．
现在如果a和b是两个不管什么样的正整数，用r表示max（a，b），由于已证明了对任意的n，An是成立的，特别Ar是成立的，因此a＝b．
注释
〔1〕本书中的自然数不包括0，和现代的自然数定义略有不同．——译注
〔2〕在我国宋代杨辉《详解（九章）算法》