可以看陶哲轩实分析，从皮亚诺公理开始

有区别 否则干嘛要定义一个交换律

你把加法看成映射：
R×R→R，(x,y)→x+y
就看出区别来了，一般来讲不可以轻易交换位置。然而加法特殊在它对实数构成加法群（幺逆元以及结合性），而且是可交换的Abel群，因此1+2=2+1
典型的例子是矩阵乘法，一般来讲AB≠BA，或者写成对易子的形式：[A,B]=AB－BA≠0

这得看集合和加法的定义了，抽象代数，集合论或者别的涉及群环域的书开篇一般都会讲，无聊可以看看相关的书。