定理1：存在无穷多个奇数n，使m=8^n+9n^2为合素？
证明：设n=2kp+1，k为正整数，p为素奇数，
则m=8^n+9n^2=8^(2kp+1)+9(2kp+1)^2=8^[2k(p-1)+2k+1]+9(2kp+1)^2=8^(2k)]^(p-1)*8^(2k+1)+9(2kp+1)^2
≡8^(2k+1)+9(modp)
由于n=2kp+1>2k+1，只要8^(2k+1)+9≡0(modp) ，8^(2k+1)+9要么是素数，要么含素因子，因此定理成立
自评：避免复杂计算，证明存在性。
推论：
1、当k=1，8^(2k+1)+9=8^3+9=521为素数，因此p=521，n=2kp+1=1043，521/m
2、当k=2，8^(2k+1)+9=8^5+9=32777=73x449，当p=73，n=2kp+1=293，73/m；当p=449，n=2kp+1=1797， 449/m
3、当k=3，8^(2k+1)+9=8^7+9=2097161=11x83x2297，p=11、83、2297，对应n=67、499、13783；m分别为11、83、2297整除

定理2 当n=110k+45、110k+65，11/m=8^n+9n^2
证明：由于2^5=32,令n=5a，m=8^n+9n^2=(2^3)^(5a)+9(5a)^2=（2^5)^（3a）+225a^2
=32^(3a）+225a^2
由于a为奇数，m=32^(3a）+225a^2≡3a^2-1(mod11)，a=11k+2或11k+9，k非负整数
由于a为奇数，当a=11k+2，k为奇数，取k=2t+1，a=22t+13；当a=11k+9，k为偶数数，取k=2t，a=22t+9
因此n=5a=110k+65或n=5a=110k+45
当n=110k+45、110k+65，11/m 证毕

定理3：当n=ak，a、k为正整数，且均为奇数
如2^k=rp-1，p>=11的素数，则m=8^n+9n^2为p整除，m为合数
证明：当n=ak，a、k为正整数，且均为奇数，如2^k=rp-1，p>=11的素数
m=8^n+9n^2=(2^k)^(3a)+9k^2a^2=（rp-1）^(3a)+9k^2a^2≡9k^2a^2-1=(3ka+1)(3ka-1)≡0(modp)
则3ka+-1=sp，即3ka-sp=+-1，（3k，p）=1，该式有无穷多组解：最小解a0，s0，则a=tp+a0，s=3kt+s0，因此p/m 证毕
推论1：当k=5，2^5=32=3x11-1，13a-11s=+-1，11/m
当13a-11s=1，a0=6，s0=7，a=11t+6，因为a为奇数，t为奇数，令t=2t+1代入a=11（2t+1）+6=22t+17
n=5a=5（22t+17）=110t+85
当13a-11s=-1，a0=5，s0=6，a=11t+5，因为a为奇数，t为偶数，令t=2t，a=22t+5，n=110t+25
推论2：当k=7，2^7=128=3x43-1，21a-43s=+-1，（21，43）=1，该式有无穷多组解，43/m，n表达式网友自行完成
推论3：当k=9，2^9=512=27x19-1，81a-19s=+-1，（81，19）=1，该式有无穷多组解。19/m，n表达式网友自行完成

8∧9+9*9²=134218457
134218457=73*521*3529

n在10000以内素数不足10个。
2024-08-16 08:09:45
n=1时，8^1 + 9*1^2 是素数。
n=3时，8^3 + 9*3^2 是素数。
n=5时，8^5 + 9*5^2 是素数。
n=7时，8^7 + 9*7^2 是素数。
n=11时，8^11 + 9*11^2 是素数。
n=669时，8^669 + 9*669^2 是素数。
n=709时，8^709 + 9*709^2 是素数。
n=1253时，8^1253 + 9*1253^2 是素数。
n=9785时，8^9785 + 9*9785^2 是素数。
用时 945.14698 秒