收敛半径是指复数函数在复平面上的某个点开始，使得迭代过程最终会收敛到原点的最大半径。在计算数值方法中，通常可以通过迭代算法的收敛性质来确定收敛半径。以最简单的牛顿迭代法为例，假设我们要求解方程 $f(z)=0$ 的根，其中 $z$ 是一个复数，$f(z)$ 是一个复数函数。牛顿迭代法的迭代公式为：$$z_{n+1} = z_n - \frac{f(z_n)}{f'(z_n)}$$如果 $z_0$ 是一个距离根 $z^*$ 足够近的复数，我们可以证明，如果 $f(z)$ 在 $z^*$ 处有一个一阶零点，即 $f(z^*)=0$ 且 $f'(z^*)\neq 0$，那么牛顿迭代法的迭代过程会收敛到 $z^*$。此时，我们可以通过对 $f(z)$ 进行泰勒展开，并将 $z_n$ 和 $z^*$ 的距离作为展开式的小量，来推导出迭代过程的收敛半径。具体来说，我们假设 $f(z)$ 在 $z^*$ 处的泰勒展开式为：$$f(z) = f(z^*) + f'(z^*)(z-z^*) + O(|z-z^*|^2)$$将其代入迭代公式中，得到：$$z_{n+1} - z^* = z_n - z^* - \frac{f(z_n)}{f'(z_n)} + \frac{f(z^*)}{f'(z_n)} + O(|z_n-z^*|^2)$$我们将 $z_n-z^*$ 的距离记作 $\delta_n$，即 $\delta_n = |z_n-z^*|$，然后将式子中的所有项都用 $\delta_n$ 来表示。因为 $z_n$ 距离 $z^*$ 越来越近，所以 $\delta_n$ 会趋向于0。我们可以忽略 $O(|z_n-z^*|^2)$ 的项，然后将式子两边取模，得到：$$\delta_{n+1} \approx \left|1-\frac{f(z_n)}{f'(z_n)(z_n-z^*)^{-1}}\right|\delta_n$$最终，我们可以证明，如果 $\left|\frac{f(z)}{f'(z)}\right|<1$ 在以 $z^*$ 为圆心、以 $\left|\frac{f(z^*)}{f'(z^*)}\right|$ 为半径的圆内成立，那么牛顿迭代法的迭代过程会收敛到 $z^*$。此时，圆的半径 $\left|\frac{f(z^*)}{f'(z^*)}\right|$ 就是收敛半径。在这个圆内，牛顿迭代法的迭代过程是二次收敛的，即每迭代一次，误差会缩小到原来的平方。

绝对值比收敛半径大的全都发散，比收敛半径小的全都绝对收敛，只有卡在收敛半径上的有可能条件收敛