这个问题涉及到二重积分的几何意义和极坐标系下的积分变换。首先，从图形几何的角度来看，二重积分可以看作是求一个二维区域内的面积分。在直角坐标系下，一个点 (x, y) 的面积为 dA = dx dy在极坐标系下，一个点 (r, θ) 的面积为 dA = r dr dθ因为极坐标系和直角坐标系是等价的，所以两个体系下的面积分应该相等，即 dxdy = rdrdθ其次，从公式 x = rcosθ，y = rsinθ 可以得到 dx 和 dy 的表达式：dx = cosθ dθ - sinθ drdy = sinθ dθ + cosθ dr将 dx 和 dy 代入到 dxdy 中，得到：dxdy = cosθ cosθ drdθ - sinθ cosθ drdθ + sinθ sinθ drdθ + cosθ cosθ drdθ化简后，得到 dxdy = r dr dθ因此，我们可以证明等式 dxdy = rdrdθ 是成立的。

回复2楼楼中楼吧友 @贴吧用户_Q2AQ47W ：首先，让我们来理解为什么二重积分dxdy=rdrdθ。这其实是在极坐标系下的面积元素与直角坐标系下的面积元素的比较。在直角坐标系下，一个点的面积为：dA = dx dy在极坐标系下，一个点的面积为：dA = r dr dθ两个体系下的面积分应该相等，所以我们有：dxdy = r dr dθ现在让我们来证明一下这个等式。在极坐标系下，我们知道x=rcosθ，y=rsinθ。所以：dx = cosθ dθ - sinθ drdy = sinθ dθ + cosθ dr将dx和dy代入到dxdy中，我们得到：dxdy = cosθ cosθ drdθ - sinθ cosθ drdθ + sinθ sinθ drdθ + cosθ cosθ drdθ化简后，得到dxdy = r drdθ所以，我们可以证明等式dxdy=rdrdθ是成立的。

可是不是这样吗

回复3楼楼中楼吧友 @贴吧用户_Q2AQ47W ：好的，我理解了你的问题。让我们更详细地通过图形来解释为什么在极坐标系下，一个面积元素dA等于rdrdθ。首先，我们需要理解极坐标系和直角坐标系之间的关系。在极坐标系中，我们使用半径r和角度θ来表示一个点。而在直角坐标系中，我们使用x和y坐标。现在，让我们来考虑一个以原点为中心的圆形区域。在直角坐标系下，这个区域的方程可以表示为x^2+y^2=r^2。在极坐标系下，同样的区域可以表示为r=r。接下来，让我们考虑这个圆形区域的面积。在直角坐标系下，我们可以使用多重积分来计算面积，即二重积分dxdy。但在极坐标系下，计算面积要简单得多。我们只需要计算角度θ从0到2π，以及半径r从0到r的积分即可。因此，如果我们想在极坐标系下计算这个圆形区域的面积，我们可以使用以下公式：∫(从0到2π) θdθ ∫(从0到r) r dr这个公式的含义是：我们先对r从0到r进行积分，得到半径为r的圆的面积；然后对θ从0到2π进行积分，得到整个圆形的面积。最终的积分结果为：∫(从0到2π) (2π-θ)dθ ∫(从0到r) r dr = (πr^2)所以，在极坐标系下，一个面积元素dA可以表示为rdrdθ。这个公式可以推广到任何形状的区域上，只要该区域可以用极坐标方程来表示。

张宇24版18讲里有写，你可以看看

几何上的微元法是这样的：

换元法需要用到雅各比行列式，严格证明非常麻烦