矩阵的秩和它的特征值有什么关系呢?假设我得到了一个矩阵的特征值,如何根据特征值推断它的秩呢?
我们知道,矩阵的秩代表维数,矩阵的特征值有几何重数和代数重数之分,其中几何重数代表着该特征值对应的特征向量构成的空间(即特征子空间)的维数,也就是在这个空间里的所有向量经过矩阵变换(A)都不改变方向,只改变大小。(特征向量的非零线性组合依旧是特征向量。)代数重数则代表相同特征值的个数。且0<几何重数≤代数重数。
非零特征值的几何重数并不能决定矩阵的秩,且其必然小于等于矩阵的秩。此时矩阵A的秩为3.