奥运会反曲弓设计基础
Lieu, D.K.
加州大学伯克利分校
Kim, Jinho 和 Kim, Ki Chan
韩国国立体育大学
摘要
现代材料和制造方法为重新设计竞技反曲弓提供了新的机会。通过改进弓的几何形状和加以适当的制造方法，可以设计出比以前储能更多、效率更大、拉感更顺畅、稳定性更好的反曲弓。本文概述了弓的物理特性，以及如何量化理想的性能特征。本文还探讨了改变弓的几何形状、运用新材料和制造技术如何提高弓的性能。本文还就未来如何重新设计射准弓以提高其性能提出了建议。
引言
在过去的二十年里，由于采用了新型材料和利用这些材料的制造方法，奥运反曲弓的性能有了显著的提高。然而，在这段时期里，这些弓的基本几何形状（如图 1 所示）除少数个别型号外一直保持相对不变。为了充分发挥新材料和制造方法带来的潜在性能改进，必须对弓的几何形状进行优化。本文回顾了奥运反曲弓性能和设计的基本原理。 这些基本原理可以用来指导未来弓的设计改进。

图 1.奥运反曲弓
弓的最基本的表现形式就是弹簧。任何弹簧被拉伸时，阻力都会随着拉伸的增加而增加，从而形成拉伸-力曲线（DFC）。弹簧中储存的能量就是 DFC 下方的面积。对于我们熟悉的螺旋弹簧，DFC 是线性的，如图 2 所示。
然而，对于悬臂弹簧来说，DFC 则是非线性的，因为力和差动力都会随着变形的增加而增加。 随着拉伸量的增加，悬臂沿着力的方向变形，这样力就变成了施加在悬臂上的轴向力，而不是横向力。弓可以看作是一个双面悬臂，中间由持弓手固定。当射手开弓时，弓弦能拉到射手面部靠位点的距离以及射手在该靠位点所能承受的力是限制弓变形和刚度的两个极限。 对于射手来说，无论使用哪种弓的设计，最大拉距和最大开弓力都是不变的。

图 2.螺旋弹簧与悬臂弹簧的拉力曲线 (DFC)。
将弓的设计性能标准确定为箭速、平滑度和稳定性。
对于给定的拉距和开弓力，箭速是指箭从弓上发射时的初始速度。平滑度是指开弓力的均匀性，尤其是在最大拉距附近。稳定性是指箭的轨迹对射手失误的容忍度。虽然弓圈普遍认为更好的箭速、平滑度和稳定性是弓的理想特性，但通过弓的设计来改进这些特性的方法却一直没有找到。因此，弓设计的基本问题是确定这些特性是如何产生的，以及应改变哪些变量来影响这些特性。
提高箭速
箭离弓时的速度取决于两个因素：弓中储存的能量以及将能量传递给箭的效率。 量化了调整所选变量对箭的发射速度的大致影响。如表 1 所示。

表1.改变选定变量对箭速的影响。
虽然最大拉距和最大持弓力是固定的，但低于这些限制的 DFC 的形状是可变的。因此，弓的部分设计工作就转向了如何修改 DFC 以增加 DFC 下的面积，也就是弓中储存的能量。
在图 3 所示的原始弓中，与更先进的设计相比，它的弓臂悬臂几何形状偏转更简单，长度相对较短。这种变形导致开弓时拉力和拉力变化率单调上升。在弓圈中，这种效果被称为 "拉力堆积"。由于拉满弓时的最大力是固定的，因此必须保持较低的初始拉力变化率，以免超过最大开弓力。其结果是，原始弓的DFC 曲线低于弹簧的线性 DFC，并且开弓力和动力差都随拉距单调增加。减少堆积效应的一种方法是简单地将弓做长，如图 4 所示，这样弓的横向变形相对于其长度就会减小。因此，在拉力和拉距相同的情况下，长弓要比原始弓储存更多的能量。

图 3.线性弹簧和原始弓的理想化 DFC，拉距和开弓力的最大限制。

图 4.原始弓与长弓相比的理想化 DFC，拉距和开弓力的最大极限。


反曲弓的几何形状包括弓稍的一部分，这部分是预制的，弓稍的初始指向是拉力的反方向（即远离射手）。在反曲弓开弓之初，预变形的弓稍与开弓力方向相反。随着开弓距离的增加，弓稍开始变直。当接近最大拉距时，弓稍再次沿着开弓力的方向变形。如图 5 所示，由此产生的 DFC 相当独特，它高于线性弹簧的 DFC，然后再次下降。在拉距和拉重相同的情况下，反曲弓储存的能量比长弓储存的能量大得多。

图 5.反曲弓与长弓和原始弓相比的理想化 DFC。


反曲弓还有一个额外的优势，那就是不需要把弓做长就能获得更高的储能，因此与长弓相比，反曲弓的体积减小了（便携性也提高了），质量也减轻了。特别是质量的减轻会带来更好的能效，从而进一步提高箭速。
奥运反曲弓似乎是长弓和传统反曲弓的混合体。虽然奥运反曲弓的弓稍保留了反曲弓的一般形状，但它也比传统反曲弓长，但没有传统长弓那么长。相当独特的几何形状使奥运反曲弓能够利用传统反曲弓在能量含量和效率方面的一些优势，同时保持传统长弓在稳定性方面的一些优势。下文将讨论弓的稳定性。



图 6.奥运反曲弓的实际测量 DFC。


如图 6 所示，与两年前最好的奥运反曲弓相比，目前最好的（储能）奥运反曲弓的实测 DFC 显示储能有了显著提高。这种改进主要是由于一家小型制造商采用了更积极的反曲形状，而不是大多数制造商采用的典型反曲几何形状，如图 7 所示的理想化反曲几何形状。

图 7.典型的（左）反曲几何形状与更积极的反曲几何形状的比较。
如图 8 所示，弯弓的几何形状可以用反曲的长度和深度来粗略定义。 虽然反曲的深度可以很容易地定义为弓稍弯曲离开射手的距离，但反曲的长度并不明显。反曲的长度可以通过弓几何形状的斜率改变方向拐点位置来定义。在数学上，这个位置就是弓身几何形状的二阶导数为零的地方。

图 8.反曲弓的深度和长度弓臂形状及其一阶和二阶导数。


由于拉力堆积是由弓的各部分在开弓力方向上的对齐造成的，因此在最终开弓力和拉距相同的情况下，增加反曲弓的深度会增加开弓周期开始时的开弓力。随着反曲的拉直，拉动力差值就会下降。当原来的反曲沿着开弓力的方向向后弯曲时，差拉力再次增加，弓开始产生拉力堆积。增加反曲的长度会使靠近中心的弓向开弓力的方向对齐，这也会增加在最终开弓力和拉距相同的情况下，开弓周期开始时的开弓力。在最大拉距下，相同的最终开弓重量下，DFC 开始时增加的开弓力可以在弓中储存更多的能量。
提高弓的效率（对于相同的箭）是很简单的。弓的效率几乎完全取决于其质量。弓的运动部分越轻，整个弓的效率就越高。拉满弓弦松开时，储存在弓中的部分能量将转化为运动中的箭的动能，剩余的能量将转化为留在弓的运动部件中的动能。由于动能与运动质量成正比，因此弓的运动部件越轻，留在弓中的动能就越少。


提高拉力平滑度
弓的拉力平滑度可以描述为开弓时开弓力没有突然的变化。在接近最大拉距的开弓过程中，这种平稳性尤为重要。在弓圈中，一般认为在最大拉距附近的开弓动力差值较小是比较理想的。如图 9 所示，可以通过检查 DFC 的斜率来确定平滑度。差拉力越大，曲线的斜率越高，也就越不平滑。微分力越小，曲线斜率越小，因此越平滑。

图 9.最大拉伸长度附近 DFC 上的平滑度。

如果将 DFC 的一阶导数与拉伸长度相对照，如图 10 所示，一阶导数的值越低，就越平滑。 拉伸长度上最平滑的位置将被视为 DFC 一阶导数曲线最低部分的位置。

图 10.DFC 的一阶导数显示了开弓力动力差值，并揭示了开弓周期中最平滑部分的位置和数值。
图 11 所示为现有弓臂的 DFC 一阶导数曲线图，它显示了当今典型反曲弓臂几何形状的最平滑部分并不一定位于典型的最大拉距（26" - 31"）区域。 然而，现有弓片上测量到的最佳一阶导数曲线表明，有可能设计出一种在典型最大拉距区域内具有最平滑开弓周期的弓。

图 11.现有弓臂的实际一阶导数曲线，显示典型和最佳测量的平滑度及其位置。


在弓圈，拉力堆积通常被认为是导致弓在接近最大拉距时不够平滑的主要原因。 由于堆积是由于弓臂变得与拉力方向一致造成的，因此可以通过塑造弓臂来减少拉力堆积，使其在最大拉距时与拉力保持更横向的关系。利用这种设计方法，可以通过使弓臂的反曲部分更深，从而使 DFC 最平滑的部分在开弓周期中更靠后。根据粗略的观察，DFC 最平稳的部分可能会出现在弓稍接近垂直的开弓周期中。超过这个位置，弓稍将开始朝向拉力方向，并开始出现拉力堆积。
提高稳定性
在设计反曲弓时必须小心谨慎，因为反曲较大的弓也可能稳定性较差，除非采取适当的措施来提高稳定性。弓的稳定性是指它能够最大限度地减少射手在撒放时所产生的误差，并使箭仍能保持所需的轨迹。这种特性在弓圈中被称为 "容错性"。由于弓弦在撒放时必须在手指周围移动，因此最主要的误差是箭还在弦上时，弦的侧向移动不一致。
抵御弓弦侧向运动的能力（以及由撒放误差引起的扰动）通常与弓的扭转刚度有关；但这种抵御能力也与弓的形状密切相关。在没有反曲的弓中，比如长弓，当沿着弓臂从弓子的中心向弓稍移动时，弓的所有部分都是朝向射手的。在开弓时，如图 12 中长弓的俯视图显示，当弓的方向稍微向一侧偏移时，开弓力会使弓恢复到原来的直线方向。撒放时，弓臂会（通过弓弦）拖拽箭，因此当弓的方向稍微向一侧变形时，回弹力会使弓旋转到原来的直角方向，就像撒放误差所引起的那样。这种行为使得长弓在所有拉距下都具有内在的稳定性。

图 12. 长弓的稳定性。


在反曲弓中，当开弓时，如图 13 所示的弓臂反曲部分的俯视图可以看出，开弓力往往会迫使弓进一步偏离其原始的直线方向，当该方向稍微向一侧变形时。撒放时，弓臂会拖动箭，这样当弓的方向稍微偏向一侧时，力就会使弓的变形更加偏离原来的直线方向，就像撒放误差所引起的那样。这种行为使得任何有反曲的弓在开弓或放弓周期中存在反曲的部分本质上是不稳定的。 但值得注意的是，当反曲弓拉得更远时，反曲开始变直，因此整个弓子通常在最大拉距时是稳定的，如图 14 所示。

图 13.反曲弓的不稳定性。

图 14.反曲弓开弓周期的稳定和不稳定部分。
目前，奥运反曲弓的扭转刚度在不同的制造商和型号中差别很大，即使是被认为质量最好的弓臂，其扭转刚度也高达 50%。
然而，所有这些弓都在高水平比赛中取得了成功。 由于这些弓的反曲形状几乎完全相同（而且在过去二十年中基本没有变化），因此这种几何形状可能只需要最低限度的扭转刚度，而超出这个最低限度的额外扭转刚度几乎不会产生额外的好处。然而，随着反曲几何形状变得越来越复杂，所需的最小扭转刚度很可能会增加，否则弓的稳定性可能会受到影响。因此，随着反曲变得越来越激进，增加弓的扭转刚度将是明智之举，就像在最大拉距时增加弓的能量含量和平稳性一样。
由于增强反曲弓的扭转刚度很可能是减少其不稳定性所必需的，因为反曲弓的几何形状变得更加激进，因此寻求提高弓的扭转刚度方法是谨慎的。如图 15 中现代奥运反曲弓弓臂的横截面可以看出，它是多层结构的。外层通常是玻璃纤维或环氧树脂碳纤维基体，以较低的质量产生强度和刚度。玻璃纤维的价格比碳纤维低，但质量比碳纤维大，刚度比碳纤维小，强度也比碳纤维低。 因此，较昂贵的弓通常使用碳纤维而不是玻璃纤维来减轻重量，从而提高效率。 为了减轻重量，弓芯通常采用碳纤维或合成泡沫，或者木材。泡沫碳通常比木质材料轻，因此制作出的弓能效更高，但木质材料通常具有更好的阻尼特性，因此制作出的弓在撒放后振动更小。 由于外层材料的强度和刚度通常远高于弓芯，因此弓在变形过程中几乎所有的应力都由外层材料承担。 如图 16 所示，当弓在开弓过程中发生变形时，外层的应力主要是法向应力，其主要方向沿弓臂长度方向为 0°，沿弓臂宽度方向与长度方向成 90°。

图 15.现代奥运反曲弓的分层结构。
当弓臂经扭转变形时，外层产生的应力主要是剪切应力，如图 17 所示，在弓臂的平面上，主应力方向与弓臂长度成 45° 和 -45°。在纤维复合材料中，材料最硬的方向是纤维长度方向。由于大多数纤维材料的两个编织方向互成 90°，因此在编织时应使纤维沿外层的长度和宽度方向编织，从而使弓臂具有很好的抗弯曲变形能力。
然而，要制作抗扭转性能良好的弓臂，纤维的方向必须与弓臂的长度成 45° 和 -45°。

图 16. 弓臂因弯曲而产生的主应力。

图 17. 扭转导致的弓臂主应力。



图 18.外层编织纤维的方向，针对 0° 和 90° 弯曲（左）以及 45° 和 -45° 扭转（右）进行了优化。

由于 0°-90° 双向纤维很常见，而且这些纤维通常被加工成长条状，纤维与长条的长度和宽度相吻合，因此在生产弓臂时，纤维通常沿着弓臂的长度和宽度定向，因为这种方式最容易加工纤维。如图 18 所示，将织物的纤维方向转 45°，会增加加工难度，从而增加生产成本。除了常见的双向编织外，还有三轴编织的材料。三轴材料，如图 19 所示，可提供三个主要方向的刚度，而不是只有两个方向。虽然这种材料比较昂贵，但可以建造一层同时抵抗弯曲和扭转变形的材料，而不需要单独的一层来抵抗每种变形。

图 19.三轴碳纤维编织层
任何编织材料的主要优点都是在制造过程中易于处理和加工。然而，任何编织材料在其任何主要方向上的弹性都要高于在该方向上相同体积的单向材料。这是因为在编织过程中，每次编织都会使纤维沿织物表面的法线方向自然弯曲。因此，纤维在主要方向上的 "之 "字形弯曲增加了它们在这些方向上的弹性。图 20 所示的单向纤维是可以生产出的单向刚性最强的纤维材料。在单向纤维材料中，纤维只在一个方向上取向，而没有 "之 "字形排列。通过在 45°和-45°以及相对于弓臂的长度上使用两个独立的层，扭转刚度将优于双向编织材料（方向为 45°和-45°）或三轴编织材料（方向为 0°、45° 和 -45°）。
双向编织材料（取向 45°和-45°）或三轴编织材料（取向 0°、45° 和-45°）。不过，单向材料的制造、处理和加工成本都很高，因此会增加弓的制造成本。

图 20.45° 和 -45° 的单轴碳纤维。
结论
在过去的二十年里，碳纤维复合材料等新材料的出现改善了奥运反曲弓的性能，这些材料比以前的材料更轻、更强。然而，这些改进大多是以减少弓运动部件质量的形式出现的，这通常会提高弓的效率。 奥运反曲弓的整体几何形状在同一时期内基本保持不变，只有个别设计例外。随着对弓的几何形状和变形如何储存能量、产生平滑性和影响稳定性有了更深入的了解，就可以改变弓的几何形状，利用新材料的优势来进一步提高弓的性能。特别是，奥运弓的反曲似乎可以做得更大一些，以增加能量储存并提高最大拉距附近的平稳性。然而，这样做很可能需要改进弓的扭转刚度，以保持甚至增强弓的稳定性。以正确的方向使用单向材料（如单向碳纤维）来增加扭转刚度，是设计具有更佳综合性能的弓的一种很有前途的方法。
参考文献
Park Kyung Rae，"弓需要什么功能？ISBS 会议论文集，2008 年 7 月 14-18 日，韩国首尔。

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