总之处理有效数字的问题的时候最关键的就是必须明确给你的数字是有误差的
理论推导是这样的:x±a / y±b,均值是x/y,方差是a²/y²+b²x²/y⁴=x²/y²(a²/x²+b²/y²),最后的误差就是方差开根号,括号外面的就是均值,括号里面的其实就是x的相对误差和y的相对误差,而相对误差其实就是有效数字,如果两个变量的有效数字相差至少一位,意味着括号里面的相对误差相差10倍,也就是说相对误差大的那个数字对最终结果的有效数字起到了决定性的影响
这就是为什么加减乘除的有效数字要参照有效位数小的来决定。
补充一下上面用到的方差的计算公式
新变量z=x/y,是x和y的函数,x和y是知道均值和误差(即标准差)的两个测量值,z的误差中包含了x和y误差各自的贡献,其中一个变量x的贡献是:x的误差乘以函数z对变量x的偏导数(这个偏导数也是一个函数,代入各个变量的均值以算出数值);然后对每个变量把各自的贡献平方后求和,就是z的方差了,开根号就是z的误差
这个从导数的意义上应该比较容易领会?这个公式是普适的,z可以变成任何函数