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召唤大佬

第一个问题就是一个简单的求导题而已，把右边减到左边去，求导得到导数恒大于0，同时f（0）＝（1+0）ln（1+0）-arctan（0）＝0，自然就证明出来了。第二个问题，先证明一定有实根，不如假设f（x）＝∫（上x下a）f（t）dt，g（x）＝∫（上n下x）f（t）dt，因为f（t）＞0，所以显然f（x）单调递增，g（x）单调递减，而f（a）＝g（b）＝0，f（b）＞0，g（b）＞0，很显然f（x）-g（x）＝0在［a，b］上有解，自然证明了有实根。至于唯一，你不如假设一下有两个实根x1，x2（不失一般性，令x1＜x2），试试看自己能不能推出∫（上x2下x1）f（t）dt＝∫（上x1下x2）f（t）dt，然而由于f（t）＞0，要成立上式，只能有x1＝x2，这也就证明了解唯一。第三题有点太基础了，建议自己想一想。第四题第一问太简单了，显然在0到1上，xⁿ*sqrt（1-x²）＞0，且xⁿ随着n增大而减小，所以an单调减少很显然的。第二问显然是0，要证明的话把sqrt（1-x²）直接放缩成114514，证明∫114514xⁿdx的极限为0即可。