假设a=x, b=y, c=z 是使(a²+b²+c²+1)/abc 比值为d 的正整数对(a, b, c)中使a+b+c 最小的一组，并且x≥y≥z
原式看成关于a的一元二次方程，f(a)= a²-(bcd)a+b²+c²+1 = 0
按照韦达定理，另一个根a'= bcd-a = (b²+c²+1)/a
也就说明如果(x, y, z)使这个式子成立，那(yzd-x, y, z)也使式子成立
而且 yzd-x = (y²+z²+1)/x >0，一定是正整数
由最小性假设，yzd-x≥x，yzd/2≥x，说明x在f的对称轴左侧
又因为y≤x，由单调性可得f(y)≥f(x)=0，也就是 y²-y²zd+y²+z²+1 ≥0
可得y²zd≤2y²+z²+1≤4y²，所以zd≤4，d只可能是1, 2, 3, 4

如果d=1，z可以是1, 2, 4
z=1时 f(x)= x²-xy+y²+2=0，无解
z=2时 f(x)= x²-2xy+y²+5=0, 无解
z=4时 f(x)= x²-4xy+y²+17=0，但由于x²+y²+17≡1, 2, 3(mod 4)，所以没有整数解
如果d= 2，z可以是1, 2
z=1时 f(x)=x²-2xy+y²+2=0，无解
z=2时 f(x)=x²-4xy+y²+5=0，同理由于x²+y²+5≡1, 2, 3(mod 4)所以无整数解
如果d=3，z只能等于1
f(x)= x²-3xy+y²+2=0，按奇偶性只可能x, y都是偶数，那x²-3xy+y²+2≡2(mod 4)，也没有整数解
只可能d=4, z=1
这时f(x)= x²-4xy+y²+2=0 有x=y=1的正整数解

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一般结论是这样子
n≥2时如果n个正整数x₁, x₂, …, x(n) 的乘积能整除它们的平方之和，也就是后者与前者的比值是正整数，那比值k一定不超过n
这里的d相当于比值k，所以d≤4
证明方法差不多，在这里
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