基本性质

我们知道，组合数 C(m, k)可以表示为：
C(m, k) = \frac{m!}{k! \cdot (m - k)!}
其中，(m!) 表示 (m) 的阶乘，即 (m) 的所有正整数的乘积。
首先，写出C(m + n, m)和 C(m + n, n) 的表达式：
C(m + n, m) = \frac{(m + n)!}{m! \cdot ((m + n) - m)!}
C(m + n, n) = \frac{(m + n)!}{n! \cdot ((m + n) - n)!}
现在简化这两个表达式：
C(m + n, m) = \frac{(m + n)!}{m! \cdot (n)!}
C(m + n, n) = \frac{(m + n)!}{n! \cdot (m)!}
观察可以发现它们是相等的。只是 (m) 和 (n) 的位置交换了，但它们的阶乘分子和分母都是相同的。
因此，我们可以得出结论：C(m + n, m) = C(m + n, n)

就是C(n，m)=C(n，n-m)的变形