蹲个解答

这是一个不等式的简单（初等）情况，看看有没有初等证明

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n=3时假设 X₁, X₂, X₃是由X中所有向量的第1, 2, 3个分量分别组成的集合 (不含重复的元素)
如果 ℓX₁ℓ≤[√t]，又因为条件ℓX₂, ₃ℓ≤t，X中的向量可以看作它们的组合，最多不超过t[√t] 个向量，这时 ℓXℓ≤t^(3/2)
如果 ℓX₁ℓ＞[√t]，设 m=ℓX₁ℓ，也就是X中所有向量一共有m种不同的第一列分量
a₁, a₂, …, a[m]分别表示每种第一列分量在X的向量中，所对应的不同第二列分量种数，由条件a₁+a₂+…+a[m]=ℓX₁, ₂ℓ≤t
b₁, b₂, …, b[m]分别表示每种第一列分量在X的向量中，所对应的不同第三列分量种数，同理，由条件b₁+b₂+…+b[m]=ℓX₁, ₃ℓ≤t
又因为ℓX₂, ₃ℓ≤t，所以对任何1≤i≤m，a[i]*b[i]≤t

若m是正整数，x₁, x₂, …, x[m], y₁,y₂, …, y[m]是两组非负实数，设A=x₁+x₂+…+x[m], B=y₁+y₂+…+y[m], max{x[i]y[i], 1≤i≤m}≤C，AB≤Cm²
可以用调整法证明，如果A, B, C不变，s=x₁y₁+x₂y₂+…+x[m]y[m] 在满足下面条件时取最大值
(1)最多只有一项1≤i≤m使0<x[i]y[i]<C，其它j≠i对应的x[j]y[j]=0或C
(2)任意1≤i<j≤m，要么x[i]=y[i]=0, 要么x[j]=y[j]=0，要么都非0且x[i]/y[i]=x[j]/y[j]
这时取到的最大值S等于
([√(AB/C)] + {√(AB/C)}²)*C ≤√(ABC)
A≤t, B≤t, C=t, m＞[√t]时可以得到
a₁b₁+a₂b₂+…+a[m]b[m]≤t√t
又因为 ℓXℓ≤a₁b₁+a₂b₂+…+a[m]b[m]，所以ℓXℓ≤t√t
a[i]和b[i]都是正整数，所以还可以有更精确的上界

我做了好久的呢(^～^)

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