提示：取对数。你会发现u_n的n次根号的对数大约是u_(n+1) / u_n的对数的前n项平均值。
下极限是震荡的最低点（例如liminf sin(n) = -1），上极限是震荡的最高点。而一个数列的平均值的震荡幅度大概比它本身的震荡幅度更小。

前些天刚做过
第一行是上极限的性质，证明也很方便
第四行是上极限的保号性+收敛序列的极限与上极限相等
我的书上有条定理，上极限是序列的最大聚点，你用的上面应该也有等价的定理，可以证明第一行

找了本教材，伍胜健的。我认为定理2.51比较重要，给出了上极限的完整刻画，绝大部分时候比定义好用