这情况确实棘手，不过你可以尝试这么做：
1.直接沟通：找个合适的时间，面对面跟兄弟真诚地解释清楚那天打游戏没叫他的原因，强调你和女生之间纯粹是朋友关系，理解他可能产生误会，向他表明你的重视。
2.书面沟通：写封信或邮件给兄弟，把自己的想法和对这段友谊的珍惜详细地表达出来，避免当面可能出现的尴尬和冲动。
3.共同朋友调解：让共同朋友在中间帮忙传达你的想法，从中斡旋，缓解兄弟的心结。

想要挽回这段友谊，真诚沟通是关键，你可以参考这些方法：
提前沟通：在共同朋友生日聚会前，通过共同朋友联系他，表达你希望在生日会上好好聊聊的想法，让他有心理准备，也显示出你的诚意。比如可以让共同朋友转达：“[你的名字]特别想在生日聚会上跟你把之前的误会说清楚，他真的很珍惜你们的友谊。”
聚会交流：在生日聚会上，找个合适的时机，比如其他人玩闹或者休息的时候，真诚地和他单独交流。先表达对他的想念，再诚恳地解释你和女生只是普通朋友，强调高考结束后一起打游戏没叫他是自己考虑不周，希望他能谅解。比如你可以说：“兄弟，好久没跟你好好聊了，我真的很想你。那天打游戏没叫你是我不对，我和[女生名字]真的就只是朋友，我一直都把你当最好的兄弟，咱们别因为这点事就散了。”
书面表达：如果当面说感觉尴尬或者怕表达不好，你可以在生日聚会前给他写一封信或者发一封邮件，把你的想法和感受详细地写出来，让他能更全面地了解你的内心。信中可以提及你们曾经的美好回忆，以及你对这份友谊的珍视 。