很多人经常会有疑问，为什么明明是写的均等概率，也经常抽不到某个自己喜欢的道具？是不是策划故意改我数据？
本贴从数学角度分析，为什么会出现这类情况。比如东南西北龙王玩具、蒸汽轮船指南针、时空陨石抽珠子……
我们假设一个情景。
你的角色需要穿戴满10件装备（如帽子、铠甲、裤子、武器等等），第一种情况是每次抽奖必定获得一个装备拆卸器（可制造任意部位装备），第二种情况是每次抽奖必定获得任意部位装备，但是重复掉落的装备无用。
请问以数学期望相比较，第二种情况需要的抽奖次数是第一种情况的多少倍？
情况一：不做赘述，需要10次抽奖即可满装备。
情况二：
定义变量，n为装备的总种类数，X为收集齐n种装备所需的抽奖次数。
令T_k表示已经收集了k-1种装备后，再收集到第k种装备所需的抽奖次数。
显然，T_1＝1，因为第一次抽奖必得第一种装备。
对于T_k (k＞1)，每次尝试得到新装备的概率为(n-k+1)/n，故随机变量服从几何分布（离散型概率的一种，描述了在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率），可得T_k的数学期望为 E(T_k) = n/(n-k+1)。
计算总数学期望：
E(X)= E(T_1)+ E(T_2)+ ...+ E(T_n)
= 1 + n/n + n/(n-1) + ... + n/2 + n/1
= n * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n)
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n 是一个调和级数，其和≈ln(n) + γ（γ为欧拉常数，≈0.57722）。
因此，E(X)≈ n * (ln(n) + γ)
当n数值较小时，我们可以直接用计算器算出准确值。例如本情景中，情况二n＝10，E(X)＝29.29。
相比于情景一，集齐所有装备所需要的抽奖次数达到了2.929倍。
所以为什么东南西北龙王玩具的时候，白嫖玩家经常抽不满，因为4个玩具都集齐需要的次数大约是8.33次，同理，利用时空陨石想将6种珠子都至少抽到一次，需要大约14.7颗时空陨石。
大家可以回忆一下，刚入坑游戏时集齐所有学生所花的时间是不是比预想之中更久？
本贴从数学角度分析，为什么会出现这类情况。比如东南西北龙王玩具、蒸汽轮船指南针、时空陨石抽珠子……
我们假设一个情景。
你的角色需要穿戴满10件装备（如帽子、铠甲、裤子、武器等等），第一种情况是每次抽奖必定获得一个装备拆卸器（可制造任意部位装备），第二种情况是每次抽奖必定获得任意部位装备，但是重复掉落的装备无用。
请问以数学期望相比较，第二种情况需要的抽奖次数是第一种情况的多少倍？
情况一：不做赘述，需要10次抽奖即可满装备。
情况二：
定义变量，n为装备的总种类数，X为收集齐n种装备所需的抽奖次数。
令T_k表示已经收集了k-1种装备后，再收集到第k种装备所需的抽奖次数。
显然，T_1＝1，因为第一次抽奖必得第一种装备。
对于T_k (k＞1)，每次尝试得到新装备的概率为(n-k+1)/n，故随机变量服从几何分布（离散型概率的一种，描述了在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率），可得T_k的数学期望为 E(T_k) = n/(n-k+1)。
计算总数学期望：
E(X)= E(T_1)+ E(T_2)+ ...+ E(T_n)
= 1 + n/n + n/(n-1) + ... + n/2 + n/1
= n * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n)
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n 是一个调和级数，其和≈ln(n) + γ（γ为欧拉常数，≈0.57722）。
因此，E(X)≈ n * (ln(n) + γ)
当n数值较小时，我们可以直接用计算器算出准确值。例如本情景中，情况二n＝10，E(X)＝29.29。
相比于情景一，集齐所有装备所需要的抽奖次数达到了2.929倍。
所以为什么东南西北龙王玩具的时候，白嫖玩家经常抽不满，因为4个玩具都集齐需要的次数大约是8.33次，同理，利用时空陨石想将6种珠子都至少抽到一次，需要大约14.7颗时空陨石。
大家可以回忆一下，刚入坑游戏时集齐所有学生所花的时间是不是比预想之中更久？
