too...to...结构，译为太...而不能...

一眼看过去很别扭的结构，可以搜一下，很可能是固定表达，楼上说的就是了。
所以你的改写没有必要加no，因为它本就有否定意义

您改写后的句子：too busy to have no time。的意思是太忙了，以至于不可能没有时间。(太忙了，忙到不会没有时间。)（也就是太忙了，反而有时间。）
当然，您修改后的句子从情理上是不通顺的。

too...to...固定结构，意为“太...而不能”，后面那个“to”本身就带有否定的意思，如果再加个“no”意思就正好相反啦(而且不会这么说)。另外那个“taking”应该是“to talk”，不定式表目的。如果have中间有名词才能加“doing”作宾语补足语，比如have fun doing，have problem doing,have good time doing，当然这种词比较有限，不是每个have+n.后面的名词都要有动名词作宾补