【几何趣题】神奇的足球阵式

@金柯Q摩蒂

请问绳子可以裁剪成不同段吧？
可以的话，单单就第一问，暂时不管后面问题时候：
我想象解决第一问，把100米中很容易取出其中五段，比如选取一半50米来用，要对折剪断；
然后随便选取一小段，随便选取了X米，假设为6米（并不知道具体尺寸，但是感觉够用即可），很容易用第一段X米再去选取，一共得到5段X米的长度；就用5段形成正五角星得到角度36度；然后通过人的定位，获取两条X米线段的中心在正十边形的中心，及它们角度为36度；这时得到五个定位，就是中心及对称的4人，其中外围靠近的2人就是正十边形的两个角点；对这两个角点定位的人，用绳子截取他们之间距离得到Y米。
有了上述对角距离X米，中心相邻36度，两角点距离Y米，在上述5人定位好后，依靠Y多次重复利用，形成等腰长X/2、底边长L的三角形，这个三角形顶角自然是36度，依次重复操作，后面就很容易补全正十边形了。

第一问
ax=by，且目测略大于50既可。
ab拉直绳子固定。a为圆心，ax做圆，b为圆心，by做圆，两圆相交cd。此时cd小于100，连接cd。
圆心确定，圆半径50。这确定了3个点。另选2人，和圆周两人重合，圆心点握住绳子，可以做圆。
然后就是中学的正五边形。
确定正五边形的两个邻边时，任意一边，可以通过上面做中垂线的办法，确定另两个圆弧上正十边形对应点。
此时做的是半径50的正十边形的5个相邻点。另5个点对称。

其实我想到个比较简单粗暴的操作方式，就利用五角星等边长做第一个正五角星，然后确定中心点，定位了6个点了；然后另外5个人再颠倒做另一个正五角星，就利用三点共线原则，也很容易将这个五角星中心对齐原来的中心。这种方式就是五角星对角线长为100米，不额外对折等。
刚刚用等长的纸条测试了一下，应该可行。

第一个五角星站位固定好，绳子腾出来可以用于三点共线核算。

发现俺一楼的题设有点误导性：教练的任务煮熟只是排出阵式，没有要求个别球员站在特定位置，一开始队长站在球场中心只是确保大家有足够空间排位，之后是可以移动的，正十边形的中心点可以在任何位置。。。

看到5楼的方法，想到一个一次就能十边形的办法
取任意一个小于10的非1整数x，有10和x的最大公约数是1。
假设十边形顶点依次顺时针序号递增，步长为1
那么第k人和第k+x用绳子相连，如果k+x＞10，则记为k+x-10。
如此10人相连后，各人向外移动（移动过程任意人不得相交），那么最后就是一个十边形。

对于第二问：
对于太复杂的数学，我其实是拒绝的，不过还是计算了...下面很多过程忽略，仅获取结果。
借用1楼的图三，求A=L⑤④与B=L⑤⑩的比值A/B，令正十边形中心到角点距离为R。
【1】借用本题第三问的结论（哈哈...），即④⑥是图中红线三点共线中的一点，则三角形①④⑨与三角形②④⑦相似，则A：B=L①⑨：（L①⑨+L②⑦）；
【2】本题借用顶角为36°的等腰三角形特性：底长L1是腰长L2的黄金分割比例，也就是L1=L2*（√5-1）/2≈0.618*L2。
由于三角形③⑤⑪顶角为108°，所以三角形③⑤⑩是顶角36°的等腰三角形；进一步，三角形⑤⑩⑪是顶角为108°的等腰三角形。所以L③⑩=L③⑤=R，L⑩⑪=L⑤⑩=（√5-1）R/2，进一步L②⑦=L③⑪=R+（√5-1）R/2；
【3】而其中L①⑨是梯形②③⑩⑦的中间线，所以L①⑨=（L③⑩+L②⑦）/2=（R+R+（√5-1）R/2）/2；
【4】所以带入到A：B=L①⑨：（L①⑨+L②⑦）=（2+（√5-1）/2）/（4+3（√5-1）/2）≈（2+0.618）/（4+3*0.618）≈0.447。
附图1：借用1楼图（将第三问的元素作为已知条件）

附图2：百度百科中的描述（36°的等腰三角形特性）截图：

@gf10025 下面这张图就是【三步十角星】不能自动成形的证据，还有它上下倒转的镜像，和你想要得到的正十边形站位，最少三种不同形状。。。

【第二问解答】
不结合第三问得到的三点共线条件，来看第二问：求A=L⑤④与B=L⑤⑩的比值A/B，令正十边形中心到角点距离为R。
已知条件是36°的等腰三角形特性：底长L1是腰长L2的关系，也就是L1=L2*（√5-1）/2。相应的可知：正十边形边长=（√5-1）R/2。
【1】由于三角形③⑤⑪顶角为108°，所以三角形③⑤⑩是顶角36°的等腰三角形；进一步，三角形⑤⑩⑪是顶角为108°的等腰三角形。所以L③⑩=L③⑤=R，L⑤⑩=L⑩⑪=（√5-1）R/2=L⑤⑧；进一步L②⑦=L③⑪=R+（√5-1）R/2=（√5+1）R/2；
【2】作辅助线③-a，如图中红线，则有L③a与L⑥⑧平行，且L③a=L②⑦=L③⑪=（√5+1）R/2，故三角形△④⑤⑧∽三角形△④a③；
【3】进一步，A/B=L⑤④：L⑤⑩=L⑤④：L⑤⑧=L④a：L③a，其中L⑤④+L④a=R，所以有：
A：（（√5-1）R/2）=（R-A）：（（√5+1）R/2）
可得出A=（1/√5）*（√5-1）R/2=（1/√5）*B
故A/B=1/√5。

【第三题解答】
结合11楼，得到第二问结果，知道了A/B=1/√5。
然后按照9楼反推，得到三角形①④⑨与三角形②④⑦相似......得证。

延续一楼最后第四图：现在场上已经建立了16条三人直线，满足了教练的要求。
但是队长⑤中坚卫还是希望精益求精，争取再排列出另一种不同形状的阵式。
首先他让⑦右翼锋移到他附近，然后在保持跟②右后卫和⑤中坚卫同一直线下，移到⑥左中卫和⑨中前锋之间。
然后他让⑪左翼锋在保持跟③左后卫和⑩左辅锋同一直线下，移到跟④右中卫和⑦右翼锋同一直线的位置。
现在场上11位球员的位置如下图：

【问题4】证明此时③左后卫和⑪左翼锋的距离，等于①守门员和⑨中前锋的距离。
队长让⑦右翼锋移到⑧右辅锋附近，然后在保持跟②右后卫和⑧右辅锋同一直线下，移到跟⑪左翼锋和⑨中前锋同一直线的位置。
（根据对称性此时②右后卫、③左后卫、⑪左翼锋、⑦右翼锋必然正好形成一个矩形。）
队长让⑧右辅锋移到他附近，然后向着②右后卫走（保持跟②右后卫和⑤中坚卫同一直线下），直到①守门员和⑦右翼锋之间。
队长让⑩左辅锋移到他附近，然后向着③左后卫走（保持跟③左后卫和⑤中坚卫同一直线下），直到①守门员和⑪左翼锋之间。
现在场上11位球员的位置如下两图（后图为前图清理无人标点后的净化图）：


【问题5】证明此时②右后卫-⑥左中卫、③左后卫-④右中卫（上图两绿线）的交点，正好在⑧右辅锋、⑩左辅锋之间（上图虚线）。
队长让⑪左翼锋在保持跟⑨中前锋和⑦右翼锋同一直线下，向左移到跟②右后卫和⑩左辅锋同一直线的位置。
队长让⑦右翼锋在保持跟⑨中前锋和⑪左翼锋同一直线下，向右移到跟③左后卫和⑧右辅锋同一直线的位置。
队长让①守门员在保持跟⑨中前锋和⑤中坚卫同一直线下，向后移到跟④右中卫和⑧右辅锋同一直线的位置。
（根据对称性此时①守门员也必然跟⑥左中卫和⑩左辅锋同一直线。）
现在场上11位球员的位置如下图：

【问题6】证明以下4条三人直线成立（如上图蓝、绿线）：
①守门员-②右后卫-⑦右翼锋
①守门员-③左后卫-⑪左翼锋
⑧右辅锋-⑥左中卫-⑪左翼锋
⑩左辅锋-④右中卫-⑦右翼锋

【第四问解答】
【1】如图，新选取点abcde。
作辅助线Lbc，则Lbc∥L③⑧，假设La②与Lbc相交于点d。由三角形△acd∽三角形△②bd，推出Lac：L②b=Lcd：Ldb=Lad：Ld②=R：（（√5+1）R/2）。
设X=Ld⑤，
则有（R-X）：（R+X）=R：（（√5+1）R/2）。
X=（√5-2）R
【2】易知L⑦⑤=R/2；且，由三角形△a⑦③∽三角形△⑤⑦⑨，推出La⑦：L⑦⑤=（（√5+1）R/2）：R/2。
设Y=L⑤⑦，
则有（R-Y）：Y=（（√5+1）R/2）：R/2。
得到Y=（√5-2）R=X，所以d点与⑦点为一个点。
La⑦=（3-√5）R。
【3】已知La⑦及La⑩，假设△a⑦③存在关系：La⑩的平方+L⑩⑦的平方=La⑦的平方，则∠a⑩⑦=90°，则⑩⑦⑧共线。
1）现按照La⑩、Z、La⑦组成直角三角形，则计算一个数值Z=√（La⑦的平方-L⑩⑦的平方）=√[（3-√5）R*（3-√5）R-（√5-1）R/2*（√5-1）R/2]
2）同时L③①=【十边形边长】*√（10+2√5）/4=（（√5-1）R/2）*√（10+2√5）/4（按十边形特性，省略步凑）；
而L⑩⑦：L⑦e=La⑦：L⑦⑤=√5+1，推出L⑩⑦=（3-√5）*L③①；
3）经计算，可知（1）中Z=（2）中L⑩⑦=难得省略数，所以证明了：△a⑦③为直角三角形，∠a⑩⑦=90°，则⑩⑦⑧共线。
【4】易知L①⑨=L⑩③+L⑨e=R+0.5*（√5-1）R/2）=（3+√5）R/4。
......
晚上回来看题，一不小心时间太晚了，不能过于为难自己，周末休息，未完待续，欲知后事如何，请听下回分解...

今天又看了一下，15楼中【2】的第一句话是“L⑨⑤=R/2”；【3】描述有些错乱及难以计算，修正一下：
【3】已知La⑦及La⑩，想利用勾股定理，若有△a⑦③存在关系：La⑩的平方+L⑩⑦的平方=La⑦的平方，则∠a⑩⑦=90°，则⑩⑦⑧共线。
1）现按照La⑩、Z、La⑦组成直角三角形，则计算一个数值Z的平方=La⑦的平方-L⑩⑦的平方=（3-√5）R*（3-√5）R-（√5-1）R/2*（√5-1）R/2；
2）同时L③①=【十边形边长】*√（10+2√5）/4=（（√5-1）R/2）*√（10+2√5）/4（按十边形特性，省略步凑）；
恰好有Z的平方=L③①*L③①*（3-√5）*（3-√5）=R*R*（25-11√5）/2（平方后更好核对），即Z=（3-√5）* L③①；
而L⑩⑦：L⑦e=La⑦：L⑦⑤=√5+1，L⑩⑦=（3-√5）*L⑩e；
3）所以L⑩e=L③①、L⑩⑦=Z，证明了：△a⑦③为直角三角形，∠a⑩⑦=90°，则⑩⑦⑧共线，L⑩⑧∥L③②。
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到这儿我感觉我的方法算得太麻烦了，接下来我想到的居然是去算出L⑩⑪长度，方式居然还要用正余弦定理，利用三角形△⑪⑩④与三角形△⑦⑤④的共同角度∠⑩④⑪去计算L⑩⑪长度，计算肯定能得出结果，只是计算太多，方法不好。就不继续算了。