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《魁拔注》54. 高数前来拜访:纹耀采集脉所需时间的数学模型

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《魁拔注》是对《魁拔》进行注解或注释的作品,旨在解释、说明或补充《魁拔》官方公开的书籍、电影、电视等作品中引发的矛盾或留下的空白,有时也包括独特的创意和想象力。本文适合对《魁拔》有一定了解的读者。通过逐步提问、引出矛盾、提出假设、进行求证和辩论,最终归纳和推理,以破而后立的方式,力求将大问题化小,小问题化解。
本文使用的缩略语:
魁拔:泛指所有魁拔官方作品
书一:《魁拔之书》第一部
书二:《魁拔之书》第二部
影一:魁拔电影第一部
影二:魁拔电影第二部
影三:魁拔电影第三部
视一:魁拔妖俠传第一季
视二:魁拔之殊途第一季云起篇
视三:魁拔之殊途第二季相生篇
BC N年:魁拔前N年
CB N年:魁拔N年
本文的论据和论证部分,根据确定程度分成三个层次:
第一层L1:为书或电影中有明确论述且不存争议的。典型问题如:蛮吉是魁拔吗?本文不与L1冲突。
第二层L2:为书或电影中有明确论述但存争议或不同理解的,依据不同理解之间的对比,推论出较合理的答案。典型问题如:不开脉门也能发脉冲吗?
第三层L3:为书或电影中没有明确论述的,但表面看来又像是bug的,依据三个原则推论出较合理的答案。典型问题如:天神和妖怪的脉频谁高谁低?三个原则排名不分先后,分别是:第一、疑论从无,即作品中没有说能默认为不能;没有说有默认为没有。第二、脑补从少,即假设一个条件推出的结论,比假设两个条件推出的结论,合理程度更高、更可信。第三、矛盾从小,即引出的矛盾较小的结论,合理程度更高、更可信。


IP属地:澳大利亚1楼2024-10-19 13:32回复
    为了公式排版的校正,下面各层先分段发。
    54. 高数前来拜访:纹耀采集脉所需时间的数学模型


    IP属地:澳大利亚2楼2024-10-19 13:43
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      本节比较理论化。在本节,我们会建立一个数学模型,用来描述纹耀采集脉所需的时间。首先,我们将一个界面简化为一个理想的球体。假设在每个时间单位内,模型球体内随机生成一个质点,代表衰变的脉。同时,在模型球体内随机分布着若干个纹耀点。生成的质点(衰变的脉)能够主动或被动地向这些随机分布的纹耀点运动,从而导致脉被纹耀采集的现象。为简化计算,我们设定质点的移动速度为1。由于所有点都随机分布在模型球体内,这个问题可以转化为求半径为R的球体内随机分布的两点之间的平均距离。


      IP属地:澳大利亚3楼2024-10-19 13:44
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        先说结论。在一个半径为R的球体中,一个随机产生的衰变的脉质点以速度1到达一个随机分布的纹耀点所需的平均时间约为1.02857R。


        IP属地:澳大利亚4楼2024-10-19 13:44
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          至于为什么会得到这一结果,这是一个相对复杂的数学问题。假设在球坐标中,随机分布两点,它们距离球心的距离分别是x和y。在球坐标系中,我们可以旋转坐标系,使得其中一点的极角为0,另一点的极角即两点与球心之间的夹角设为θ。


          IP属地:澳大利亚5楼2024-10-19 13:45
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            设P(x)和P(y)分别是随机两点在球内径向距离的概率密度函数。已知球体积公式V = 4/3 πR³。则在径向距离增量dr上的球壳体积dV(r) = V(r+dr)-V(r) = 4/3 π(r+dr)³ - 4/3 πr³ ≈ 4πr² dr(忽略高阶小量dr)。在球壳dV(r)中出现点的概率dP(r) = dV(r)/V = (4πr² dr)/(4/3 πR³) = 3r² dr/R³。因此,设P(r)=Cr²,其中C为常数。为了得到径向距离r的概率密度函数P(r),我们需要把这个球壳的体积dV(r)归一化,即确保概率密度函数的积分结果为1如下。


            IP属地:澳大利亚7楼2024-10-19 13:48
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              ╭R
              ┃ P(r)dr = 1
              ╯0


              IP属地:澳大利亚10楼2024-10-19 13:53
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                ╭R
                ┃ Cr²dr = 1
                ╯0
                积分解得CR³/3 = 1,即C = 3/R³。


                IP属地:澳大利亚11楼2024-10-19 13:55
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                  所以,概率密度函数P(r) = 3r²/R³。即P(x) = 3x²/R³,P(y) = 3y²/R³。


                  IP属地:澳大利亚12楼2024-10-19 13:56
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                    类似地,设P(θ)是随机另一点在极角θ的概率密度函数。已知球坐标系中的坐标定义为半径r、极角θ、方位角ϕ,球面积公式A = 4πR²。在球的表面上选择一个点,则其微小面积dA是θ和ϕ分量造成的两个弧段的乘积,即dA = (R dθ)*(R sinθ dϕ) = R² sinθ dθ dϕ。在极角θ附近出现某一点的概率dP(θ) = dA(θ)/A = (R² sinθ dθ dϕ)/(4πR²) = sinθ dθ dϕ /4π。


                    IP属地:澳大利亚13楼2024-10-19 13:57
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                      所以,随机一点在极角θ处的概率密度P(θ)dθ=
                      ╭2π
                      ┃ sinθ dθ dϕ /4π = sinθ dθ/2
                      ╯0
                      得出概率密度函数P(θ) = sinθ/2。


                      IP属地:澳大利亚15楼2024-10-19 14:00
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                        有了上述的三个概率密度函数,我们就可以将随机两点间的平均距离用下面这个三重积分表示:
                        ╭R ╭R ╭π
                        ┃ ┃ ┃ L P(x) P(y) P(θ) dθ dy dx
                        ╯0 ╯0 ╯0


                        IP属地:澳大利亚20楼2024-10-19 14:12
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                          其中,两点之间距离L=(x²+y²-2xy cosθ)^0.5


                          IP属地:澳大利亚23楼2024-10-19 14:17
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                            代入P(θ)后,先解最内重的积分得:
                            ╭π
                            ┃ L sinθ/2 dθ = ((x+y)³-|x-y|³)/6xy
                            ╯0


                            IP属地:澳大利亚24楼2024-10-19 14:18
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                              ???上一次这样子震惊我的还是在植物大战僵尸吧


                              IP属地:山西来自Android客户端26楼2024-10-19 14:21
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