由于随机点随机均匀分布在球体内，x<y和x>y的计算是对称的，我们只需要计算其中一种情况再乘以2。所以上述积分可以简化为x>y的情况。
╭R╭x
┃　┃　(6x²y+2y³) (3xy)/(R^6) dy dx
╯0╯0

于是我们再解第二重积分：
╭x
┃　(6x²y+2y³) (3xy)/(R^6) dy
╯0
=
3x　　╭x
----　┃　(6x²y²+2y^4) dy
R^6　╯0
= (3x/R^6)(12x^5/5)
= (36x^6)/(5R^6)

最后我们再解第三重积分：
╭R
┃　(36x^6)/(5R^6) dx
╯0
=
36　　╭R
----　┃　x^6 dx
5R^6 ╯0
= 36R/35
≈ 1.02857R

54. 高数前来拜访：纹耀采集脉所需时间的数学模型
本节比较理论化。在本节，我们会建立一个数学模型，用来描述纹耀采集脉所需的时间。首先，我们将一个界面简化为一个理想的球体。假设在每个时间单位内，模型球体内随机生成一个质点，代表衰变的脉。同时，在模型球体内随机分布着若干个纹耀点。生成的质点（衰变的脉）能够主动或被动地向这些随机分布的纹耀点运动，从而导致脉被纹耀采集的现象。为简化计算，我们设定质点的移动速度为1。由于所有点都随机分布在模型球体内，这个问题可以转化为求半径为R的球体内随机分布的两点之间的平均距离。
先说结论。在一个半径为R的球体中，一个随机产生的衰变的脉质点以速度1到达一个随机分布的纹耀点所需的平均时间约为1.02857R。
至于为什么会得到这一结果，这是一个相对复杂的数学问题。假设在球坐标中，随机分布两点，它们距离球心的距离分别是x和y。在球坐标系中，我们可以旋转坐标系，使得其中一点的极角为0，另一点的极角即两点与球心之间的夹角设为θ。
设P(x)和P(y)分别是随机两点在球内径向距离的概率密度函数。已知球体积公式V = 4/3 πR³。则在径向距离增量dr上的球壳体积dV(r) = V(r+dr)-V(r) = 4/3 π(r+dr)³ - 4/3 πr³ ≈ 4πr² dr（忽略高阶小量dr）。在球壳dV(r)中出现点的概率dP(r) = dV(r)/V = (4πr² dr)/(4/3 πR³) = 3r² dr/R³。因此，设P(r)=Cr²，其中C为常数。为了得到径向距离r的概率密度函数P(r)，我们需要把这个球壳的体积dV(r)归一化，即确保概率密度函数的积分结果为1如下。
╭R
┃　P(r)dr = 1
╯0
即
╭R
┃　Cr²dr = 1
╯0
积分解得CR³/3 = 1，即C = 3/R³。
所以，概率密度函数P(r) = 3r²/R³。即P(x) = 3x²/R³，P(y) = 3y²/R³。
类似地，设P(θ)是随机另一点在极角θ的概率密度函数。已知球坐标系中的坐标定义为半径r、极角θ、方位角ϕ，球面积公式A = 4πR²。在球的表面上选择一个点，则其微小面积dA是θ和ϕ分量造成的两个弧段的乘积，即dA = (R dθ)*(R sinθ dϕ) = R² sinθ dθ dϕ。在极角θ附近出现某一点的概率dP(θ) = dA(θ)/A = (R² sinθ dθ dϕ)/(4πR²) = sinθ dθ dϕ /4π。
所以，随机一点在极角θ处的概率密度P(θ)dθ=
╭2π
┃　sinθ dθ dϕ /4π = sinθ dθ/2
╯0
得出概率密度函数P(θ) = sinθ/2。
有了上述的三个概率密度函数，我们就可以将随机两点间的平均距离用下面这个三重积分表示：
╭R ╭R ╭π
┃　┃　┃　L P(x) P(y) P(θ) dθ dy dx
╯0 ╯0 ╯0
其中，两点之间距离L=(x²+y²-2xy cosθ)^0.5
代入P(θ)后，先解最内重的积分得：
╭π
┃　L sinθ/2 dθ = ((x+y)³-|x-y|³)/6xy
╯0
解开第一重积分后，再代入概率密度函数P(x)和P(y)得：
╭R ╭R
┃　┃[(x+y)³-|x-y|³](3xy)/(2R^6) dy dx
╯0 ╯0
由于随机点随机均匀分布在球体内，x<y和x>y的计算是对称的，我们只需要计算其中一种情况再乘以2。所以上述积分可以简化为x>y的情况。
╭R╭x
┃　┃　(6x²y+2y³) (3xy)/(R^6) dy dx
╯0╯0
于是我们再解第二重积分：
╭x
┃　(6x²y+2y³) (3xy)/(R^6) dy
╯0
=
3x　　╭x
----　┃　(6x²y²+2y^4) dy
R^6　╯0
= (3x/R^6)(12x^5/5)
= (36x^6)/(5R^6)
最后我们再解第三重积分：
╭R
┃　(36x^6)/(5R^6) dx
╯0
=
36　　╭R
----　┃　x^6 dx
5R^6 ╯0
= 36R/35
≈ 1.02857R