叠盾：lz是桌游萌新，玩过的桌游两只手能数得过来，而且基本都是被朋友带着玩的，所以在经验方面完全无法和老玩家相比。本帖只从纯数学角度提出一些观点，并未考虑所有因素和规则特别是玩家间的博弈和垫卡用的香料，故该结论不代表真理，仅作为一种分析工具的分享案例。如果各种术语不规范，或者有的观点与现有研究相重合欢迎提出。
香料之路（Century: Spice Road）是一款比较老的游戏了，简单地搜一下都能看到相关的经验分享帖子和视频有很多，但是我竟然没找到对卡组数值的详细分析。近期我在研究其他问题的时候学习了矩阵的Moore-Penrose伪逆（等价于线性回归的最小二乘法），发现这个东西似乎可以用在卡牌数值的分析上，所以我就分享一下它的做法和得到的结论。欢迎各位大佬也对该方法得出结论的准确性进行锐评，看看这种纯数学上的分析对以数值为主的桌游的策略有多大的指导意义。
· 结论放前面
- 根据所有商人卡的卡面计算，四种香料所值的回合数为：黄0.359、红0.693、绿1.046、棕1.464，比例为1 : 1.927 : 2.908 : 4.072，非常接近1:2:3:4，但中段略微下凹。
- 不同商人卡的香料流转速度天差地别，大致可以分为四个等级：四级为1.464~1.339，三级为1.000~1.261，二级为0.615~0.849，一级为0.327~0.411（该数值代表一张商人卡的香料流转速度是平均值的多少倍）。
- 速度最快的四级卡有6张，几乎都是直接生产的卡片，优先抢；
- 速度较快的三级卡有12张，各分类都有，种类丰富，基本能满足所有操作需求，应该作为构成主力；
- 速度中等的二级卡有20张，初始的“黄+2”卡也包含其中。使用中速卡是亏回合的，应该尽量不使用；
- 速度最慢的一级卡有5张，任何情况都不推荐打出，收益还不如拿别人垫在商人卡上的1个姜黄。
- 升级任意两个香料的卡（初始卡）单独使用亏回合，但是有时可以用来在后手打出，让人不容易判断你的目标。
- 升级任意三个香料的卡，不但可以像初始的升级卡一样用来掩盖目的地，而且单独使用也赚回合，优先抢。
- 香料流转速度快不完全等于赚分速度的优势，用流转速度快的卡去凑最划算的分数卡才能变成实际的分数优势。
- 分数卡中，如果以黄1、红2、绿3、棕4为分数标准，则存在一个没有明写的加分规则：需要三种不同香料的分数卡额外加1分；需要四种不同香料的分数卡额外加2分，需要一、两种颜色香料的卡不额外加分。
- 单双色分数卡应该尽量拿高分的，三四色卡应该尽量拿低分的，这样才能充分利用隐藏加分规则。
- 根据所有分数卡的卡面计算，四种香料的平均分值为：黄1.168，红2.089，绿3.089，棕4.088，比例为1 : 1.788 : 2.644 : 3.500
- 根据商人卡和分数卡共同计算，四种香料的分数-生产回合比是：黄2.782、红2.581、绿2.529、棕2.391。这意味着在同等得分下，用越低级的香料换分数越省回合。
- 所有商人卡平均每回合的得分按分类整理如下：

- 得分效率A的主要都是生产卡，无条件先拿，另外还有三张使用条件比较苛刻的分解卡，在能拼出引擎的情况下优先拿。
- 得分效率B的有两张生产卡、4张3升卡、消耗黄的合成卡，通用性比A类中的分解卡高，也是非常实用的卡；
- 得分效率C的有几张2升卡、一张3升卡、大量的分解卡和少量合成卡。C类分解卡又慢分又少，除非构成的引擎必须用到，不然还是少用；
- 得分效率D的有5张，亏回合得分又少，任何情况都不要用，包括1红→3黄、1绿→2红、1红1黄→1棕、2黄→1绿、3黄→1棕。
- 仅有A、B类卡容易导致黄盈余、棕不足，可能组不出引擎，必要的时候可以补充一些C类的升级卡、合成卡来让卡组运转顺畅起来，但如果有机会一直换只需低级香料的分数卡就可以获得很大的优势。
· 正文
1. 卡片的分类及数据表示
香料之路里的商人卡根据投入和产出的香料数量大致可以分成四大类：生产、升级、合成、分解。生产就是无中生有，升级就是投入和产出的香料数量一样但品质更高，合成就是产出的数量比投入的少，分解就是用少量高级香料换取大量低级香料。
所有的商人卡都可以用一个四维向量（棕, 绿, 红, 黄）表示，即打出这张卡以后四种香料的数量变化。例如基础的黄+2卡就是（0, 0, 0, 2），1棕→2红2黄就可以表示成（-1, 0, 2, 2），以此类推。除了两张任意升级卡以外，游戏中一共有43张不同的卡牌，如表1所示。
表1. 除两张“任意升级”以外其他所有卡牌

2. 香料的平均步数成本
虽然四种香料无论是平均步数还是分值上，大约都是按棕4、绿3、红2、黄1的标准框架设计的，但是实际的商人卡卡组还是会让它们的实际价值偏离框架。例如，初始的卡牌中有一张黄+2，似乎规定了黄色就值0.5回合。但有一张卡牌是黄+4，这张卡牌就让黄香料的步数成本降低到了0.25回合。
设四种香料的回合成本分别为b, g, r, y，那么一张商人卡对应的四个数字Ai、Bi、Ci、Di分别乘上b、g、r、y的积的和应该等于1，这表示使用1次该卡片能产生这么多结果：
Ai*b + Bi*g + Ci*r + Di*y = 1
如果这个游戏只有4张商人卡，那就能列出一个四元一次方程组，然后用初中数学解决。但目前在表1中考虑的商人卡数远远超过4张，而且大部分卡的价值都是线性无关的，因此需要用矩阵伪逆的方法来求解。
把表1的内容列成43行4列的矩阵M，

把香料的回合成本列为4行1列的矩阵x，

把每一张卡片的行动回合数（都是1）列为矩阵B：

M、x和B构成病态方程组Mx=B，以Moore-Penrose伪逆方法求解：

解得
b = 1.464, g = 1.046, r = 0.693, y = 0.359
也就是说，根据游戏中的这43张商人卡所能做出的所有操作，棕色香料值1.464个回合，绿色香料值1.046回合，红色香料值0.693回合，黄色香料值0.359回合，大致比例是4.072 : 2.908 : 1.927 : 1。这是一个中间凹两端翘的曲线意味着棕色的获得难度略高于标准值，而红绿的难度则略低。
3. 卡牌的实际回合价值以及任意升级卡牌的步数盈亏
根据已经得出的香料步数价值，可以回过头来计算每张卡牌打出之后产生的效果是平均值的多少倍：
等价回合 = 1.464*A + 1.046*B + 0.693*C + 0.359*D
这个数值可以表示一张商人卡带来的香料流转速度快慢，所以后续也会将“等价回合数”简称为一张卡片的“速度”。43张普通卡片的等价回合数列于表2中。
表2. 43普通卡片的等价回合数

43张卡片的等价回合数明显形成了四个梯队，分别标记为极快、快、普通、慢，总体特征总结如下：
极快的卡只有6张，速度在1.339~1.464之间，且主要都是生产卡；
快卡有12张，速度在1.000~1.261之间，种类丰富，基本能满足所有操作需求，应该作为构成主力；
中速卡有20张，占大多数，初始的“黄+2”卡也包含其中，速度在0.615~0.849之间。使用中速卡是亏回合的，应该尽量不使用；
慢速卡有5张，谁用谁傻，太亏回合了，打一张慢速卡的收益还不如拿别人垫在商人卡上的1个姜黄。
除了以上43张功能固定商人卡牌以外，游戏中还有两张任意升级卡，一张是初始卡牌，可以将升级两个香料，或是将一个香料升级两次，简称“升2”卡；一张是在商人卡组里的卡牌，可以升级三个香料，或是将一个香料升级两次、一个香料升级一次；或是一个香料升级三次，简称“升3”卡。这两张任意卡牌的实际操作价值会受实际的操作影响（见表3）
表3. 两张任意升级卡在不同操作下的实际回合价值

从表3可以看出，升2卡本身的回合价值平均为0.733，在中速卡的中上水平，如果只是用来做普通的香料升级操作是亏回合的。尽管速度不够快，但它的最大价值在于非常灵活，可以藏在后手使用，让人不容易看出自己看中的目标卡。升3卡的速度平均为1.099，属于快卡中流水平，它不仅可以像升2卡一样用于掩盖目标，即使无脑单用都是赚的，应该归到首先入手的范畴。
4. 分数卡效率
分数卡是香料最终的转换目标，它对香料的设置和商人卡类似，也是按照1、2、3、4的框架来规定黄、红、绿、棕色香料的分数价值的。按类似表1的方式总结所有的分数卡，得到表4。
表4. 所有分数卡所需的香料数和所值的分数

根据分数卡所需香料的颜色种类数进行分类后就可以发现，得分的规律实际上为：
棕色 × 4 + 绿色 × 3 + 红色 × 2 + 黄色 × 1 + 加分
其中三色卡加1分，四色卡加2分。
由于四种分数卡的数量各不相同，而出现的几率相等，因此可以据此计算出所有分数卡上，各香料的平均分值。将所有分数卡所需的香料组合成矩阵T，四种香料的分数价值为未知矩阵y，分数卡的分值为矩阵S，有病态方程：
Ty=S
解得y = [4.088, 3.089, 2.089, 1.168]（过程略）
也就是说，根据游戏中的这36张分数卡所规定的加分规则，可得各种香料的平均价值，其中棕色香料值4.088分，绿色香料值3.089分，红色香料值2.089分，黄色香料值1.168分，大致比例是3.500 : 2.644 : 1.788 : 1。
根据平均价值可以重新计算出各张卡片的理论分值（见表5）。
表5. 分数卡的分值比

表5中，分值比是用实际分值除以线性回归出的理论分值得到的，代表这张分数片相比所有分数卡的得分高低，数字越大，分值越偏高。表中很清楚地表明，分数卡中所需求的香料种类数和它的分值比密切相关，只需要单色或双色香料的分数卡分值比低于理论值，需要三色或四色香料的则高于理论值，这与刚才已经提到的加分规则一致。
分别将单、双色卡和三、四色卡的分值比对分数做图，得图1：

图1. 分值比与分数的关系
图1左表明，对于单、双色卡，分数越高的，受加分规则影响越小，分值比越高；图1右表明，对于三、四色卡，基础分数越高，受加分规则的增益越小，分值比越低。所以单双色卡选择高分、三四色卡选择低分可以尽可能地利用隐藏的加分规则。
5. 商人卡-分数卡交叉研究
现在已经得出了四种香料的回合价值为棕1.464、绿1.046、红0.693、黄0.359，分数价值4.088, 3.089, 2.089, 1.168，可以求出它们的分数-回合比是：棕2.391、绿2.529、红2.581、黄2.782，这表明以越低级的香料去换取分数越省回合。
将香料的平均分值y代入表1中，可以计算出打出每一张商人卡后预期能获得的分数（表6）
表6. 商人卡的平均加分

从表6可以看出，商人卡的赚分程度和它们的流转速度大致是正相关的，香料流转得慢的卡得分也少，香料流转得快的卡得分也多。但由于越低级香料的得分/回合比越高，所以平均而言，得分速度是分解 > 生产 > 升级 > 合成。
将各香料生产所需回合数x代入表4可求出得到各分数卡所需的平均回合数（表7）
表7. 赢得各分数卡所需要的平均回合数

表7中的分数/回合比表示以这一张卡牌为目标，平均每回合操作可以拿多少分，可以用来衡量这一张分数卡的得分效率。可以看出，除了因为隐藏加分规则使三色、四色分数卡更有效率之外，还有几个规律是：凡是出现棕色的卡牌，效率都会被压低；黄色因为本身分值低，会导致在单色、双色卡中让总分变低，让得分效率降低。