中学数学重大错误：将N外自然数误为N内数——百年病态集论的症结
黄小宁
设本文所说集合是元不少于两个的集。D=｛6,8｝变为｛8｝的原因必可是D中的6变为8的同时8变回自己使D失去元素6。D可几何化为点集D。点集｛0,2｝中各数是点的坐标。点集A各点x变为点y=y（x）生成元为y的B={y}，变换的各点x中若有两点的距离由≠0变为=0则此变换是不保距变换。A =｛0,1｝中：点0移位变为点1的同时1变为1（即点1变回自己）就使A 失元变为｛1，1｝，A 各元都发生变化（点1原地不动是变回自己）后就使A 变为｛1｝了。可见 A失去元0的原因必可是：点0离开原位变为点1的同时原来的点1变回自己；此变换中原像：0与1的距离是1，像：1与1的距离是0≠1，所以A 变为｛1｝是不保距变换——说明元不少于两个的点集W变为非空V⊂W一定是不保距变换使V不≌W，所以W作刚体（保距）运动绝不能变为其真子集V⊂W。这说明有
h定理(实际上是[1]中的“h几何常识”）：元为x的点集W=｛x｝（可以复变数z替换x）的任何非空真子集V⊂W都不可≌W。
N各点x=n的保距对应点x'=x+1=n+1的全体H=｛1，2，3，…，x'=n+1，…｝≌N。据h定理H≌N不是N的任何真子集，H=｛n+1｝不能被N包含说明H必至少有一元x'=x'0（0是下标）=n0+1>n0∈N在N外，式中n0=Ω显然是N最大元，因其后继n0+1=Ω+1在N外。所以H∪｛0｝是似是而非的假N。显然Ω和Ω±1等等均是标准分析一直用而不知的N内、外标准无穷大自然数。自有自然数概念后的5000年里一直无人能知有无穷大自然数Ω使中学数学一直将N外自然数误为N内数从而将根本不是N的真子集H～N误为N的真子集——百年病态集论的症结。
可见保距变换和≌图概念是能放大无穷大倍的思维望远镜使5000年都无人能识的数列N外标准无穷大自然数Ω+1一下子被人看到。
参考文献
[1]黄小宁。凭中学数学常识发现数学课本一系列重大错误——让中学生也能一下子认识2300年都无人能识的直线段[J]，数理化解题研究，2016（24）:19。
[2] 黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。
[3]黄小宁。中学数学重大错误:将N外自然数误为N内数[J]. 当代教育实践与教学研究（电子刊）,2024(6)。
黄小宁
设本文所说集合是元不少于两个的集。D=｛6,8｝变为｛8｝的原因必可是D中的6变为8的同时8变回自己使D失去元素6。D可几何化为点集D。点集｛0,2｝中各数是点的坐标。点集A各点x变为点y=y（x）生成元为y的B={y}，变换的各点x中若有两点的距离由≠0变为=0则此变换是不保距变换。A =｛0,1｝中：点0移位变为点1的同时1变为1（即点1变回自己）就使A 失元变为｛1，1｝，A 各元都发生变化（点1原地不动是变回自己）后就使A 变为｛1｝了。可见 A失去元0的原因必可是：点0离开原位变为点1的同时原来的点1变回自己；此变换中原像：0与1的距离是1，像：1与1的距离是0≠1，所以A 变为｛1｝是不保距变换——说明元不少于两个的点集W变为非空V⊂W一定是不保距变换使V不≌W，所以W作刚体（保距）运动绝不能变为其真子集V⊂W。这说明有
h定理(实际上是[1]中的“h几何常识”）：元为x的点集W=｛x｝（可以复变数z替换x）的任何非空真子集V⊂W都不可≌W。
N各点x=n的保距对应点x'=x+1=n+1的全体H=｛1，2，3，…，x'=n+1，…｝≌N。据h定理H≌N不是N的任何真子集，H=｛n+1｝不能被N包含说明H必至少有一元x'=x'0（0是下标）=n0+1>n0∈N在N外，式中n0=Ω显然是N最大元，因其后继n0+1=Ω+1在N外。所以H∪｛0｝是似是而非的假N。显然Ω和Ω±1等等均是标准分析一直用而不知的N内、外标准无穷大自然数。自有自然数概念后的5000年里一直无人能知有无穷大自然数Ω使中学数学一直将N外自然数误为N内数从而将根本不是N的真子集H～N误为N的真子集——百年病态集论的症结。
可见保距变换和≌图概念是能放大无穷大倍的思维望远镜使5000年都无人能识的数列N外标准无穷大自然数Ω+1一下子被人看到。
参考文献
[1]黄小宁。凭中学数学常识发现数学课本一系列重大错误——让中学生也能一下子认识2300年都无人能识的直线段[J]，数理化解题研究，2016（24）:19。
[2] 黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。
[3]黄小宁。中学数学重大错误:将N外自然数误为N内数[J]. 当代教育实践与教学研究（电子刊）,2024(6)。
