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有趣的兰福德配对

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把1,2,3,4(从1开始的连续自然数)各两个(即共有4组数,每组是相同的两个数)排成一个8位数使得其中两个1之间正好夹着1个数字,两个2之间正好夹着2个数字,两个3之间正好夹着3个数字,两个4之间正好夹着4个数字。问:怎么排?正确答案是:4,1,3,1,2,4,3,2。如果把它们逆序排列看作本质相同的数列,那么上面这个答案是唯一的。
这个问题是由苏格兰数学家兰福德发表在英国《数学公报》1958年第42卷第228页的论文《问题》提出来的,因此叫兰福德数列或兰福德配对。


IP属地:广东来自Android客户端1楼2024-12-19 15:15回复
    另外的兰福德数列问题中,我们可以试着推理出不同的n时的案例。当n=3时也有唯一的答案:2,3,1,2,1,3。那么,n=5呢?事实上根本没有答案——5缺席而“中空了”!这是为什么,你能证明吗?
    已有的成果是,不存在n=1,2,5的兰福德数列。
    在n=4的排列中,如果用“U”形线条来连接相同的两个数,从而更直观地表示出其间夹着几个数时,(在平面内)就会出现线条交叉。如下图,n=4时线条出现(一次)交叉:

    那么,就由此引出一个问题:有没有(不是对n=4)不交叉的排列呢?答案是肯定的,事实上 n=8 时所组成的8对数的排列就没有线条交叉。
    好了,爱好思考的你,可以试着玩玩推理:
    ①n=6 时所组成的6对数如何排列?
    ②n=8 时所组成的8对数如何排列?


    IP属地:广东2楼2024-12-19 15:41
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