我们上课讲的是根据齐次方程的解来推出的常数变异法，这页PPT看上去确实像是“注意到"。

齐次方程dy/dx=P(x)y的通解解应该是C*exp(∫P(x)dx)，现在非齐次方程dy/dx=P(x)y+Q(x)右边多了一个Q(x)，相当于dy/dx多了一项，那多的一项从何而来，自然就想到让对齐次方程的通解求导时多一项，根据乘积求导法则，就想到令C变为C(t)，从而使dy/dx多出一项，再令多出的一项等于Q(x)，非齐次方程便解出来了。

常微分方程就是套一些模型公式，很多确是

我当时学的时候感觉微分方程感觉和线性代数的通解一样，只要是两个在解平面上不相关的向量就可以是这个方程组的通解，只是关于e的函数恰好特别好写而已

其实是…e^x这个函数严格来说就是这么定义的…

其实直接用分离的方法硬解，解出来可以发现解的形式正好是齐次通解乘一个关于x的函数，由此可以想到直接将齐次解的c变易为c(x)来将关于x的函数求出来.

其实是来源于线性方程组的结构，如果你线性代数学的好的话，应该学到非齐次线性方程组Ax=b的解得结构是Ax=0的齐次解再加上Ax=b的通解.
所以我们考虑dy/dx+P(x)y=Q(x)一阶非齐次方程组，我们考虑线性算子Dy=(d/dx+P(x))y=Q(x)
那么就类似于线性代数里面的非齐次方程组Ax=b
所以线性常微分方程的结构也是通解+特解的形式.
在这里其次方程是dy/dx=-P(x)y的解，我们姑且设成Cg(x)的形式，非齐次方程组的特解设为h(x)
由于通解+特解，所以解是Cg(x)+h(x)，那么考虑把g(x)提出来得到g(x)(C+h(x)/g(x))，所以把C+h(x)/g(x)记成C(x)这样就得到了常数变易法

就是这样的

所以我比较喜欢用镇楼图里这个证明，看着也简单，很好理解，对初学者更友好些

这叫积分因子法，西交大的数学分析教材上好像有，课本上的常数变易法虽然思路很巧妙但不自然也不实用。

左右同乘以exp(xxxx)

常数变易法其实我的理解是既然非齐次，那么它的解就不再是常数乘e而且函数乘e，所以实现了常数变函数的跨越，积分因子我倒不是很懂是咋凑出来这个积分因子的，是直觉猜的嘛？高数一年前学的，现在记忆留得不太多