定义可计算序数可计算序数是那些可以被递归函数编码的序数，即存在一个自然数上的递归良序关系，其序类型为该序数。Kleene的 \mathcal{O} 系统Kleene的 \mathcal{O} 系统是一个递归的序数记号系统，用于表示所有可计算的序数。它通过以下方式定义：1. 基础情况： 0 \in \mathcal{O} 且 \mathcal{O}(0) = 0 。2. 后继情况：如果 n \in \mathcal{O} 且 \mathcal{O}(n) = \alpha ，则 2^n \in \mathcal{O} 且 \mathcal{O}(2^n) = \alpha + 1 。3. 极限情况：如果存在一个递归函数 f_i ，使得对于所有自然数 n ，有 f_i(n) \in \mathcal{O} 且 f_i(n) <_{\mathcal{O}} f_i(n+1) ，则 3 \cdot 5^i \in \mathcal{O} ，且 \mathcal{O}(3 \cdot 5^i) = \sup_{k \in \omega} \mathcal{O}(f_i(k)) 。构造CK序数CK序数是所有可计算序数的上确界，可以通过Kleene的 \mathcal{O} 系统来构造。具体步骤如下：1. 定义符号和序数映射：使用Kleene的 \mathcal{O} 系统定义符号和序数映射。2. 基本序列：定义每个可计算序数的基本序列，以表示其极限情况。3. 上确界：CK序数是所有可计算序数的上确界，即 \omega_1^{\text{CK}} = \sup \{ \mathcal{O}(n) \mid n \in \mathcal{O} \} 。
