论一个四重积分的背景

先看看做法. (1)可以利用Fourier变换或者直接累次计算，属于比较简单的类型

(2) 第一步是自然的，用特殊函数将重积分改写为一元积分

这里选取的A_\alpha(z)是最重要的部分，它来自于一类拥有对数分支的函数，在幅角变化后拥有指数衰减的性质。从而可以对称地选择此类函数中两者相乘，那么选取的函数便在复平面上半平面上的渐近是多项式型的，从而避免了指数发散的奇异行为

于是可以得到如下结果

那么四重积分可以降维成二重积分，下面只需一些常规的计算

我只能说，好凶残的递推公式

在(2)的证明中的计算用到的那个递推关系其实是最困难的。此类解析性质的代数关系很少见，只有在函数极其特殊时才可以产生这么优雅的结构，此外在代入的时候恰好可以发现C(4,1)与C(2,3)的简洁关系，从而规避了大量的运算，那么就有了这个题目💕

所以这个做法是不可推广的，毕竟我也本喜欢简洁好看，对称性强的题目，精挑细选的呢

当然这个问题并不无端而来。可以看如下问题，它同样是替换了积分限，当然不平凡的程度是相对低的

证明是这样的. (1)略去

上面问题的复杂度不太高，原因在于其每一部分乘上示性函数后的Fourier变换是好求的，而本问题用相似手法处理后会出现指数积分函数Ei(x)，处理它们本质还是需要拆开算一些复杂的对数积分，计算量的确会减少但是仍然很大，且并没有变得容易

但是至少这是形式上的启发

至于解决过程的特殊做法的来源，那可是另外一个故事