打字太难打了就懒得打了，将就着看吧

如题，

对给定的正整数k, 是不是对足够大的素数p, 这个同余方程总有xyz与p互素的解 ?? 可以用p(k)表示使方程没有(xyz,p)=1的解的最大素数p (如果对每个素数总有解就令p(k)=0, 如果使其无解的素数有无穷多就令p(k)=∞) 只知道k=2时欧拉证明过x²+y²+1≡0(mod p)总有解, 而且可以用有关勒让德符号的一个求和式, 证明当p>5时总存在x,y与p互素的解

设f(x),g(x)均为整系数多项式，且deg f(x)＞deg g(x).若对无穷多个素数p，pf(x)+g(x)存在有理根，求证：f(x)必存在有理根.

若复数α和β满足α+β与αβ是互素的非零整数, 并且α/β不是单位根, 则数列(α^n-β^n)/(α-β)的每一项都是整数, 这个数列叫作Lucas数列 Lucas研究了这类数列的整除性质, 并且称在α和β为整数时, 可以证明对每个足够大的n, (α^n-β^n)/(α-β)都有一个与此前每一项都互素的素因子(可以称为本原因子primitive divisor或特征因子characteristic factor). 以下是后来被发现的一些有关结论 (1) α和β为整数的情况 (Zsigmondy定理) A.S.Bang(1886)在论文Taltheoretiske undersøgelser中讨论了β=1,

求所有正整数对（p,t），使得p为素数，且p^t=2t^2+1

Mp>3是素数当且仅当AmodMp=0，其中Mp=2ΛP-1,A-1=3Λ（Mp -1）/2。

这个讲的比较好，我之前是看他了解的 https://zhuanlan.zhihu.com/p/710321156

如果正整数n>1满足对任意与n互素的整数a, a^(n-1)≡1(mod n)都成立, 同时满足n+1 | σ(n), 能否推出n为素数? 感觉这两个条件应该足够, 但是证明有点难, 也找不出反例

除了1与素数幂以外, 是否还有其它满足以下条件的正整数m: 存在无穷多个正整数对(n,r)使得n!/m^r是与m互素的整数

两两互不相等的正整数a,b,c,d满足gcd(a,b,c,d)=1, 并且使得(a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(c+d)的奇素因子只有一种 也就是存在某个奇素数p, 使得a+b, a+c, a+d, b+c, b+d, c+d都是形如2^u*p^v (u,v是非负整数)的正整数 找到的一组是(a,b,c,d)=(1,7,17,47), 其中p=3 如果不要求符号都为正的话, 还有一组(a,b,c,d)=(-11,19,29,35), 也是p=3

{a_n}和{b_n}都是由非零整数组成的无穷等差数列, 对任意正整数k, S_k和T_k分别表示{a_n}和{b_n}前k项的乘积 如果存在正整数N, 使得对任意正整数k≥N, T_k都整除S_k, 那么{a_n}和{b_n}应该满足怎样的条件? 除了以下两类情况, 是否还有其它的可能 (1) 存在非零整数r使得对任意正整数n, a_n = r*b_n (2) 存在非零整数t,s,m使得对任意正整数n, b_n = t*n且a_n = ts*(n+m)

设集合S={n | n=i²+3j²,i∈Z,j∈Z}, 则对于整数k, 存在不全为0的整数a,b,c 使得a²+b²+c²=k(ab+ac+bc), 当且仅当 |k-1| 和 |k+2| 都属于S 并且当k是满足以上条件的正整数时, 总存在正整数a,b,c使得a²+b²+c²=k(ab+ac+bc)

若a, b, c是正整数且abc是无平方因子数, 则关于x,y,z的不定方程ax²+by²=cz²存在xyz≠0的整数解的充分必要条件是以下3个同余方程都有解 n²≡-ab(mod c), n²≡bc(mod a), n²≡ac(mod b)

想补一下通解的解法, 刚刚才写好的, 帖子怎么没了

欢迎大家补充

想问问大家费马数都有哪些有意思的性质

当3≤n∈Z且n是奇数时，2ⁿ=3x²+5y²都恒有x,y互素的正整数解吗？如何证明？

x²+7=yⁿ的（n≥3）的所有正整數解有哪些？难道只有1²+7=2³，3²+7=2⁴，5²+7=2⁵，11²+7=2⁷，181²+7=2¹⁵，這些嗎？y must be 2的幂？

n≡1（mod4），n≥5，xⁿ=2y²+5无正整数解的证明。

6x²+1=y³正整数解怎么做？用理想数？

y²=（x²-3）（x²+2）（5x²-11）有理数解仅有x=±1，怎么证？

3ᵃ=5b²+1所有正整数解不用高等结论可以做出来吗？

1.证明2x²-73y²=1无正整数解 2.证明7ˣ+19ʸ=z³无正整数解 3.证明x³-x²+8=y²无正整数解 4.证明x³-x-3=y²无正整数解 5.证明2^x+3^y=z³无正整数解 6.若p≡3（mod4），证明x^p=2y²+3无正整数解 7.若p≥2，p∈Z，证明x^p=2^y+3无正整数解。 8.求3ˣ=5ʸ+2的所有正整数解。 9.x²+2=3ᵖ的所有正整数解。 10.求y³=2x²+5的所有正整数解。 11.证明x⁵=y²+4无正整数解。（至少3种方法）. 12.5≤p∈Z，p≡1(mod4)，证明xᵖ=2y²+5无正整数解

m！(n！-1)=x²的所有正整数解能不能求出来？

m！–n！=x²正整数解仅有(m,n)(2，1)，(3，2)吗？给出证明。

同样的，y²=x³+8所有有理数解是否只有x=-2，1，2？有没有人做一下，利用这个文章，自己去微信查看一下。

1.证明2x²-73y²=1无正整数解 2.证明7ˣ+19ʸ=z³无正整数解 3.证明x³-x²+8=y²无正整数解 4.证明x³-x-3=y²无正整数解 5.证明2^x+3^y=z³无正整数解 6.若p≡3（mod4），证明x^p=2y²+3无正整数解 7.若p≥2，p∈Z，证明x^p=2^y+3无正整数解。 8.求3ˣ=5ʸ+2的所有正整数解。 9.x²+2=3ᵖ的所有正整数解。 10.求y³=2x²+5的所有正整数解

求助一题：若m，n∈N+，求证：abs（sqrt（2）-m/n）>1/〈4n^2）

证明对任意正整数N，存在正整数m，使得\phi(n)=m至少有N个解，其中\phi是Euler函数。

（m＋n）^2=m＋n！ 求所有正整数解

求出满足方程2^n +n =m! 所有正整数对（m,n） How to solve it？

m是正整数，当且仅当存在一个正整数n，使得m²+2|n²-2时，m属于集合A，k是能整除A中所有数的正整数，求k的最大值

Pell方程x^2-dy^2=1的解中数列 {yn}满足y(n+2)=2x1×y(n+1)-yn 是否有(ym,yn)=y(m,n)

设m，n互素，x<n,y<m,证明[x(1+m/n)]不等于[y(1+n/m)]

（m^2-n^2）^2+（4mn）^2=k^2 m，n，k都是整数

求助下第二问，怎么构造出来:(

是否存在自然数a，b使得a+b和ab-1都是完全平方数

设k是正整数，求证：存在正整数n，使得：k!+(2k)!+……+(nk)!有一个素因子大于k! 求诸位解答，不胜感激！

求所有满足(p-1)!+1是p的方幂的素数p.

K,P为自然数，且不相等，证明是否为完全平方数，详细点。

(2k-2)!=m(4k^2-1)+k(2k^2-3k-1)