若a_1,a_2,a_3,…,a_n的值，只能取0或1，且拼接数(a_1a_2a_3…a_n)_2(为2进制)|(a_1a_2a_3…a_n)_10(为10进制)，求通解a_1a_2a_3…a_n。

将64位的十进制素数1001101000110010100011101010111001010000010110101001000001001101当成二进制数，转成十进制数后，为20位的素数11111100110000001101，再当成二进制数，转成十进制后，为7位的素数1035277。 能发现更大的类似的数吗？

来源：21年YMO 看了标答，感觉不是很自然，有没有吧u浇浇s顺便讲讲做题思路

对于平面上的N个两两不共线的点，N=4的时候可以找到这样的四个点两两不共线，两两之间距离均为有理数：O(0, 0), A(3, 0), B(-132/65, -132√3/65), C(-5/2, 5√3/2), 原理是两两之间满足x²+xy+y²为完全平方数的最小正整数数组为195, 264, 325 我们把他扩展到N≥5的情况，而当我尝试寻找满足两两之间距离均为有理数的点，可惜都失败了，于是我有这样的猜想：对于平面上任意N（N≥3）个两两不共线的点，彼此之间连成的线段最多只有3(N-2)条线段长度均为有理数，请

对于平面上的n个点，当使两两的距离为1的点对最多时，所有点对的距离的最小值，是怎么样的呢？

对于任何整数p，q且q不等于0，都有|2^(1/2)-p/q|>1/(3q^2)。

设a，b，c，d都是大于或等于2的正整数，求方程 a^b-c^d=100的正整数解( a，b，c，d)，(不超过10^10都可以)。 我的思路:100=25×4，有以下正整数解: 若a^ b和c^d都被25整除，有 ①a^b-c^d=25×(5-1)=100，a=c=5，b=3，d=2。 ②a^b-c^d=25×(9-5)=100 ，a=15，b=2，c=5，d=3。 ③a^b-c^d=25×(125-121)=100，a=b=5，c=55，d=2。 后面的类似的正整数解较大了，有空再找找吧。

在三角形ABC中，添加若干条，过一顶点或不过顶点的直线，得到的三角形总数，可以是任意正整数吗？

如下图所示，我想问的是是否存在这样的S是满足这样的唯一分解的，或者有没有成熟的结论了？

在闭区间[0,1]上的恰当位置(不含端点)，放第一个点a_1，约定每个点一旦放下，就不能再调整位置。再在恰当的位置放第二个点a_2, 保证a_1，a_2分别位于开区间(0,1/2)，(1/2,1)内。再放第3个点a_3，保证a_1,a_2,a_3分别位于(0,1/3),(1/3,2/3),(2/3,1)内，…… ,依此类推，证明：至多放17个点。

证明：正三角形网格中，任意四个顶点都不能构成正方形。

在圆周上放有30个实数，它们的和等于0，其中一个数为1，证明：存在一个数x_i与相邻二数x_(i-1), x_(i+1)有|2x_i-x_(i-1)-x_(i+1)|>=4/113。

证明:丢番图方程n(n+1)(n+2)= m^2-1在n＞4时无偶数解。 思路:设n=2k，k是正整数。然后8k^3+12k^2+4k=m^2-1。 可以设m= t且是奇数。这给出k(k+1)(2k+1)= t(t+1)。 一共6种情况均给出n＞4时方程无偶数解。 请问一下，有没有其他的证明方法？

有20个数：1, 2, 3, …, 20。 两人轮流在这些数前面，添上正号或负号(放的顺序不限)。全部放完后计算代数和S的绝对值|S|， 第一个玩家的目的是使|S|尽可能小，那么第二个玩家能达到的|S|最大值是多少？

质数差值完全平方数猜想数差值完全平方数猜想： 当a+b=[lbk]√（4ab)[rbk]+c, ［］为向上取整， a与b是偶数（a+b)分为的两个质数， c=0或c=1时 则A=「√ab，向上取整，B=A^2-ab为平方数。 举例演示一： 1844=907+937 最优素数对：{a=907,b=937} a+b=907+937={1844} 开根号（4×907×937)=1842.9967 向上取整：=1843 1844=1843+1，{c=1} {907/937}=0.968>31/61，作为验证 A=开根号（907×937）=921.4977 A=922，向上取整得到。 B=922^2-907×937=225=5^2 举例演示（二） c>2时，B不是完全平方数. [lbk]√(4×7×1

高合成数大家都熟悉，但是在OEIS官网上搜索“Highly composite”这个字眼，不光会出现诸多关于高合成数的问题，还会发现很多特定范畴内的“高合成”，比如：高合成奇数（也就是某个奇数的因数数量比小于他的所有奇数的都要多），高合成平方数，高合成三角形数，高合成k²-1形状的数等，虽然五花八门，但都遵循同一个规则：在限定的范畴内比较因数数量，我只能感叹：万物皆可高合成啊 但是，有一些范畴的高合成，oeis上面搜不到 比如说限定在

设素数p，求解： 存在一个奇数d，使得(2^p+p^2 d^2-1)为完全平方数的条件（素数p的同余类型）？

给定一组满足a+b+c=0的非零整数a,b,c, 是否只存在有限多组非负整数 r > s > t, 使得多项式 f(x) = ax^r + bx^s + cx^t 满足 f(2)≠0 并且 f(2) | f(n) 对任意整数n都成立 ? 来自这个帖子的推广 https://tieba.baidu.com/p/10723319021

猜想：当x与y为相邻质数时， x+y=[lbk]√(4xy)[rbk], 恒成立，注：［］为向上取整。

（Armond E. Spencer,AMM E 2637）任意整数x_i,1≤i≤n，都满足\prod_{1≤i<j≤n}(j-i)整除\prod_{1≤i<j≤n}(x_j-x_i). 有三种证明方法：1.硬分析素因子幂次，2.Vandermonde行列式初等变换，3.利用整值多项式性质归纳。 相关问题：（圣彼得堡2004）给定两两不同的正整数a_1,a_2,...,a_n，设b_i=(a_i-a_1)(a_i-a_2)...(a_i-a_{i-1})(a_i-a_{i+1})...(a_i-a_n).证明：lcm(b_1,...,b_n)被(n-1)!整除. 写出Lagrange插值公式易证。 我的猜想：记号同上，存在i，使得b_i被(n-1)!整除.

一个完全恢复好的3阶魔方，每个面的色彩数为1，则六面的色彩数之和为6。打乱魔方后，发现六面的色彩数之和为8，9，10，11，12，14，15是可以的，易证7是不可能的，那13呢？若13是可行的话，求最少步数的操作。

问是否对任意由正整数构成的首项和公差互素的等差数列{a_i}(1≤i≤n)，都有lcm(a_1,...,a_n)≥lcm(1,...,n).

如题，发在二楼，请吧友看看对不对

若d是正整数，x^4-y^4=dz^2或者没有非平凡解，或者有无穷多互素的正整数解

原题是：确定是否存在整系数多项式P(x,y,z)，满足性质：一个正整数n不是平方数，当且仅当存在三个正整数x,y,z使得P(x,y,z)=n. 答案是肯定的。 那么改成二元又如何？（一元则显然是否定的）

素数p=8k+5，设s \equiv \binom{4k+2}{2k+1}(mod\ p)且-4k-2 \le s \le 4k+2，证明：v_2(\left| s\right|)=1

若x^2+n^2=y^2, 且x^2+NN=z^2，其中NN是n重复两次的数字，求(x,n)的通解。如4^2+3^2=5^2, 4^2+33=7^2。

在黑板的第1行写上m个不超过n的自然数，第2行写上n个不超过m的自然数，我们将一行中的一个或数个位置相连的数称为一段，证明：可以从两行中各选出一段来，使两段数的和相等。

若b,c都是素数，令b=2,3,5,7,…, 且2(b+c)+bc=n^2，求最小的c值的序列。

记φ(n)（n∈Ｎ*）为1/n能够拆分为三个互不相同的埃及分数和的总情况数，也就是1/n=1/x+1/y+1/z(x, y, z∈Ｎ*，x＜y＜z)的解的数量，比如1只有1/2+1/3+1/6一种拆法，所以φ(1)=1，1/2有1/3+1/7+1/42, 1/3+1/8+1/24, 1/3+1/9+1/18, 1/3+1/10+1/15, 1/4+1/5+1/20, 1/4+1/6+1/12这6种拆法，则φ(2)=6，同样的方法我们可以求出φ(3)=15, φ(4)=22, φ(5)=30等 定义：一个数N，若对任意小于N的正整数n, 都有φ(n)＜φ(N)，则称N为“高度拆分数”，或者“高拆分数” 比如5是“高拆分数”，因为所有小于5的正

易知1，2，3，4，5，这五个连续的自然数，以任意方式，分成2组，则总可以找到一组，其内的两数之差等于其中的一个数。如分为{2, 3},{1,4,5}这两组，有5-4=1。那么对于1～n的连续自然数，以任意方式分成3组，也有如上的效果，求n的最小值。

n≥1是否存在正整数n^5为回文数？ 不知道ai给出的这个推导对不对？ ai说这里的(上界<下界)，所以矛盾。 大家帮个忙，看一下。(虽然只是一个思路)

如2^11=2048, 其数位2，0，4，8全是偶数。那么当n>=12时，能否证明不存在2^n的数位全偶的十进制数表示形式呢？

若x, y, z是整数，k是正整数，f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3 mod 2k+1的余数不含k, k+1，求k的可能值。

在坐标平面上，按以下规則移动：由一已知点p(x，y)可移到P_H(x,y+2x), P_D(x,y-2x), P_L(x-2y,y), P_R(x+2y,y)这四个点中任何一个，但若我们由P移至Q, 则不能立即由Q返回P(注: 易知P_H和P_D, P_L和P_R，分别是互为逆操作，因此禁止连续使用一对互逆操作)。证明若从点(1, 2^(1/2))出发，则无法回到原出发点。

每组不全为0并且满足gcd(A,B,C) = 1的有序整数对(A,B,C), 都能唯一确定Z^3整数格中的一个经过原点的平面格 Λ : Ax + By + Cz = 0 (由所有满足Ax + By + Cz = 0的整格点(x,y,z)组成的点集) 对于这类平面格的一个大胆猜想: 对任意的 Λ: Ax + By + Cz = 0 和 Λ' : ax + by + cz = 0, Λ 与 Λ' 的一个子格相似 <=> (A^2 + B^2 + C^2)/(a^2 + b^2 + c^2) 等于一个有理数的平方

有一个这样的猜想：对于任意正整数n≥2，总存在(n+1)个整数x₁, x₂, x₃, …, xₙ, y, 满足Σᵢ₌₁ⁿ xᵢⁿ=yⁿ 对于比较小的n的情况是显而易见的，比如： n=2对应的情况就是我们熟悉的“勾股数”，并且存在完全通解x₁=k(a²-b²), x₂=2kab, y=k(a²+b²)(k, a, b∈Ｎ*) n=3时，存在(x₁, x₂, x₃, y)=(3, 4, 5, 6), (1, 6, 8, 9), (3, 10, 18, 19), (4, 17, 22, 25), (18, 19, 21, 28), (2, 17, 40, 41)等，并且存在通解及其对应的构造方法，但是比较复杂，需要记x₁=(a+b)k+a, x₂=ak-b, x₃=(c+d)k+c, -

将所有满足以下条件的正整数n组成的集合设为S: 存在n的某个因数m, 使得n的所有不超过m的因数之和等于n 对每个n∈S, 再将n的所有不超过m = m(n)的因数组成的集合记为A_n 问题: (1) 是否对任意n∈S, A_n 中所有数的最小公倍数都等于n ? (2) 是否对任给的素数p, 都只存在有限多个n∈S, 满足n的最大素因子不超过p ?

半素数，也就是两个素数的乘积，在浩瀚的整数海洋里，我们可以显然知道，最多只能连续三个正整数均为半素数，像这样的例子，我们可以轻易的举出很多组，比如33, 34, 35; 85, 86, 87; 93, 94, 95; 121, 122, 123等，是否存在无穷多组，我们还不知道，证明应该是哥猜级别的难度 我们把这个问题拓展一下，最多能有连续多少个正整数，都能够表示为k个素数的乘积？答案是2^k-1个，理由是从＞2^k的一个数开始的连续2^k个自然数，必然存在一个数是2^k的倍数，并

求助，这个怎么证明

证明：用1块1x6的矩形和18块1x7的矩形，不能拼成11x12的矩形。

若p_1，p_2，p_3，p_4皆是素数，且p_1*p_2-p_3*p_4=2，请求出一组解。

相邻素数构成的素数等差数列，长度上限是多少？

任何一个非9m±4型的整数都能写成三个整数的立方和，对不对？我好像原来看到过这个结论，应该是对的。请大家证实一下

第二个问题，后者是充分必要条件吗

是否存在整数n>1,a>0,使得对任意整数x，都有x^n+a和(x+1)^n+a互素。