回复：偏导数

21题，拉格朗日乘数法，方程组解法见后面图。
20题，z是x和y的函数，同时z是u和v的函数。az/au用链式法则。

拉格朗日乘数法。
方程组的解法见后面。

拉格朗日乘数法。
方程组的解法见后面。
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链式法则，代值。这题问的人也不少。
因为题目里面有两个f，而两个f的参数不一样，所以这里就不简写为f'1，因为怕混淆，这里把后面括号全部写出来。
因为导数公式对于单点可导是成立的，所以可以先求导，再代入x=1。
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两边对x求导，链式法则。
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隐函数求y对x的二阶导数。
93楼的理论看一下。
107楼的理论看一下。
二阶导数是在一阶导数上再求一次导数，用商的求导法则。最后将dy/dx的表达式代入到二阶导的式子里面。
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f二阶可导，g一阶可导。
选A
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三个等式，四个变量。
四减去三等于一，所以只有一个自变量，剩下三个都是因变量。
因为最终求对x的导数，所以x是自变量。
求一阶导数，直接用微分解法，然后消去dy和dz，剩下就是答案。
用微分解法，都不用管到底是导数还是偏导数，直接计算就行。
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已知z是变量，f是二元函数映射关系。
则 az/ax 和 af/ax 是两个完全不同概念的式子。
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az/ax 表示变量z对变量x求偏导数。
af/ax 表示映射关系f(x,y)对第一个位置的变量x求偏导数。
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当且仅当z=f(x,y)时，az/ax和af/ax在数值上相等。
注意：仅仅是数值上相等，概念上还是不等的。
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在求偏导数的题目中，请尽量不要使用蓝色。因为蓝色的式子有特定的含义。在绝大部分题目中，并不满足蓝色式子的写法。
一般题目中用f'1，f'x，fx这种写法来表示对映射关系求偏导数。
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蓝色的特殊含义就是红色。
当且仅当式子是红色的式子时，才能简写为蓝色。
也就是红色的括号里面必须是(x,y)。
绝大部分题目中，并不是(x,y)这种形式。所以不能用蓝色。
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此题az/ax在数值上不等于af/ax，概念上也不相等。
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第1个注意点：
z=z(x,y) 表示变量z是x和y的二元函数。
z=f(x,y) 表示变量z是x和y的二元函数，并且函数映射关系是二元函数映射关系f。
这两者的区别一定弄明白。。。
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注意：
当等号左右两边字母相同时，也就是 z = z(x,y)两边都是 字母 z 时，只定义变量关系，不定义映射关系。
一般题目会给显函数 z=φ(x，y) 或者隐函数 Φ(x,y,z)=0，或者给定方程组，用这些关系来定义 z=z(x,y)，如果什么都不给，那题目就是错题，因为 z 的表达式未给，是求不了偏导数的。
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第2个注意点：
已知z是变量，f是二元函数映射关系。
则 az/ax 和 af/ax 是两个完全不同概念的式子。他们的数值在某些情况下会相等，但他们的概念是两个不同的概念。
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az/ax 表示变量 z 对变量 x 求偏导数。
af/ax 表示映射关系 f(x,y) 对第一个位置的变量 x 求偏导数。
af/ax 更详细的例子，请看后面图的例子。
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当且仅当 z=f(x,y) 时，az/ax 和 af/ax 在数值上相等。
注意：仅仅是数值上相等，概念上还是不等的。
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第3个注意点：
在求偏导数的题目中，蓝色的式子有特殊的含义，蓝色式子一定是红色式子的简写。
当且仅当式子是红色的式子时，才能简写为蓝色。
也就是红色的括号里面必须是(x,y)。
绝大部分偏导数题目中，并不是(x,y)这种形式。所以不能用蓝色的表达式。
更具体的例题看这个楼层后面图里面的示例。
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一般题目中用f'1，f'x，fx这种写法来表示对映射关系求偏导数。
个人强烈建议使用数字的 f'1, f'2 这样的形式。
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下面图里的这题 az/ax 在数值上不等于 af/ax
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当不是 z = f(x,y) 时，az/ax 数值上不等于 af/ax
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注意：
af/ax 一定是红色的式子的简写。
但是f'1, f'x, fx的简写，括号内部可以是红色，也可以是其他的式子。
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当不是 z = f(u,v,w) 时，az/au 数值上不等于 af/au
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注意：
af/au 一定是红色的式子的简写。这里把字母改为u, v, w也是可以的。
但是f'1, f'u, fu的简写，括号内部可以是红色，也可以是其他的式子。

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当不是 z = f(x,y) 时，az/ax 数值上不等于 af/ax
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一类题目的总结。
94楼和98楼也是这个题型。这里再总结一遍。
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链式法则。
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链式法则的另一种写法。结果和上图一样。
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比较常见的简单题型，ABDE都是常数。
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上图整理得下图。
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本楼层第一图的解法
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上个楼层127楼的题型。
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先看懂上个楼层的解析。
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先看懂上个楼层的解析。
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127楼的题型
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u可以显式表示。
求u对x和y的一阶偏导数
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求u对x和y的二阶偏导数。
蓝色的位置，用一阶偏导数代入。
将所有计算出来的偏导数代入到原式。
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原理请先看懂127楼。
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127楼的题型。
将x,y,z 化为只包含u,v,w的式子。
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请先看懂127楼。这里的p表示x,y的二元函数。p也是u,v的二元函数。
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例3到例5都是一阶偏导数，比上面几个楼层要简单一些。
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例4 的题目需要加上z = z(x,y)，图上我补充了。
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例题5后面的步骤省略了，自己代一下，简单计算。
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