回复：偏导数

98楼的题型。
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求 u 对x,y的一偏导数。
链式法则，求 u 的一阶偏导数对x,y的偏导数。
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求 u 对x,y的二阶偏导数。
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将结果代入到题目的式子，化简。
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类似上个楼层132楼。
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解答
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解答
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题目
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126楼的理论先看懂。
这题的 f'x就是f'1, f'y就是f'2, 因为他是f(x,y)，所以 x 是第一个位置的变量，y 是第二个位置的变量。
方程两边对 t 求导，注意：x, y, t 是三个相互独立的自变量，然后用一下链式法则。
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f的二阶偏导数连续。
链式法则。
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题目
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微分解法是最方便的解法。
对方程组的三个方程，等式两边同时取微分。
所有的变量，在微分解法中一视同仁，不需要区分因变量和自变量。
u = u(x, y)，说明最后留下 du, dx, dy，需要消去 dz 和 dt
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普通的求导解法，需要区分因变量和自变量。
还需要区分是多元函数还是一元函数。
实在是太麻烦了，所以个人强烈建议大家使用微分解法。
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多元函数求导，用偏导数符号 ∂
一元函数求导，用导数符号 d
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u = u(x,y) 说明 u 是因变量，x 和 y 是自变量。
题目给定的三个方程的方程组，里面一共有 u, x, y, z, t 五个变量。
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u，g，h 三个方程说明有三个因变量，又因为已知条件给定 x 和 y 是自变量，所以剩下u，z，t 都只能是因变量。
g，h两个方程说明有2个因变量，又因为已知条件给定 y 是自变量，所以剩下 z 和 t 都只能是因变量。所以 z 和 t 都是 y 的一元函数。
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题目
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微分解法。
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蓝色是已知条件，要回代才能约分。
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求二维区域的最值。
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书本答案，我的答案在后面。
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书本答案
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题目重新抄一遍。
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先求非边界的极值点。
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求边界L2，也就是y=0，端点放在后面的圆边界一起求。这里不处理端点。
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求边界的圆曲线。
拉格朗日乘数法。
下图里面的方程组的解法，看下下张图。
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方程组的解法。
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拉格朗日乘数法，方程组的解法。
λ = 0时，直线和椭圆没有交点，所以无解。
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题目
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题目重新抄一遍
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求偏导数，转为微分方程。
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解带初值的微分方程。
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求高阶导数。
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偏导数的积分。
注意:
常数C和普通的常微分方程有区别。
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求极值。
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求 z 在 ax²+by² <= 1 的约束条件下的极值(或最值)。
后面补一个具体数字的例子。
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常规解法：先求内部，再求边界。
边界用拉格朗日乘数法。
联立方程1和2，消去λ。
然后令 t = y/x，转为一元二次方程，求出两个根，代入到方程3。
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下图，求红线的z，在椭圆边界及内部的条件极值。
把求出来的(x,y) 代入到 z 中，就可以求出最大值和最小值了。
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题目
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解方程组。
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也可以换元再解。因为 ln 函数是严格单调函数，所以不影响极值点的位置。
取倒数也是严格单调函数，所以也不影响极值点的位置。
变成下图，解方程组会方便一些。
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这样的变换，就是可能会使极大值变极小值，极小值变极大值。
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