回复：积分表147个积分公式推导

一类题目的总结。
公式(73)到公式(76)。
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分母是二次多项式开平方，分子是 n 次多项式。
a 不等于零保证是二次多项式，判别式不等于零保证不能直接开平方。
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式子(7)里面的 Pn(x) 表示 P(x) 是 n 次多项式，Qn-1(x) 表示 Q(x) 是 n-1 次多项式，A是常数。
这里的 n 要求是正整数。
这类题目，最简便的解法，就是待定系数法，列出(7)的式子，两边求导，再比较系数。
式子(7)的待定系数法，转化为式子(2)，后面会有例子讲解。
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式子(1)是最简单的，凑微分就可以求出原函数。
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式子(2)需要分两种情况讨论。
转为基本积分公式：公式(31)，公式(45)，公式(59)。
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情况1就是公式(73)。
二次项系数大于零，分母配完全平方公式。
将公式(31)和公式(45)统一加上绝对值，因为他们的积分结果可以写成一致的。
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情况2就是公式(76)。
二次项系数小于零，分母配完全平方公式。
使用公式(59)，arcsin是奇函数，可以将负1移到arcsin内部。
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式子(3)的推导，这里给两种解法。
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解法1：分部积分，移项合并。
凑出式子(1)，转为式子(2)。
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解法2：待定系数法，使用式子(7)。
这个解法较为简便。
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将根号移到分母，待定系数法，两边求导，比较系数，解方程组。
最后转为式子(2)。
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式子(4)的推导。
凑出式子(1)，转为式子(2)。
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式子(5)的推导，这里给两种解法。
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解法1：凑微分，分部积分，移项合并。
凑出式子(1)，转为式子(2)。
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解法2：待定系数法，使用式子(7)。
这个解法较为简便。
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待定系数法，两边求导，比较系数，解方程组。
最后转为式子(2)。
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式子(6)的递推过程。
利用下图可以将积分内部的 n 次多项式降低一次变为 n-1 次多项式。
多次使用这个过程，整理等号右边的式子，合并 x 的多项式，可以得到式子(7)的结论。
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接上个楼层125楼。
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利用式子(6)得到式子(7)。
P，Q，R，S，T，U都是多项式。A是常数。
利用递推公式，递推得到结果。
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接上两个楼层125楼和126楼。
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式子(6)的递推公式。
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这个楼层讲 x^n 或者 (t+h)^n 在分母的情况。
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下图的 Pn(x) 的式子中，x 的次数是负数，An 是系数。
式子(3)最终可以化为式子(1)或式子(2)。
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待定系数法，两边求导，比较系数。
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如果 a 等于 0，或者 c 等于 0，或者 判别式等于零，则会更简单一些，请自行推导，这里就不做推导了。
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分部积分，得到递推公式。
最后一行，J(2)代入之后J(0)的系数刚好是零，所以不会出现J(0)
不断利用下图的递推公式，最终将积分全部化为J(1)。
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下面计算上图的J(1)，分两种情况讨论，再将得到的表达式转为统一的表达式。
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虽然在下面的证明过程中，对 x 分正负进行讨论，但是最终得到的答案表达式是统一的表达式。
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先证明(1)
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ln对数运算法则。
分母有理化，平方差公式。
常数合并到C中。
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再证明(2)
arcsin是奇函数，所以可以将sgn(x)移到arcsin内部。
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反三角函数的化简。
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举一个例题。
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一类题目的总结。
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有三种解法。
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式子(1)有三种解法。
三种解法的答案都是对的。
因为不定积分可以有多种答案。
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解法1：
配完全平方公式。
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解法2：
凑微分。
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解法3：
凑微分。
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式子(2)的解法。
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注意：
式子(2)虽然也有三种解法，分别对应式子(2)到式子(4)。
但是需要注意，式子(3)和式子(4)的定义域变小了。
如果是考试，请使用式子(2)的解法。
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式子(3)的解法。
凑微分。
常数可以合并到C中。
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式子(4)的解法。
凑微分。
常数可以合并到C中。
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式子(5)的解法。
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一类题目的总结。
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有两种解法。
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换元法，转为有理函数积分，后面的过程都省略了。
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式子(1)的解法1。
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式子(1)的解法2。
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式子(2)的解法1。
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式子(2)的解法2。
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式子(3)的解法1。
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式子(3)的解法2。
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公式(79)
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换元法，转为有理函数积分。
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下图的第五行，没有将1/(t²-1)的微分计算出来，而是直接使用分部积分。
这样能简便一些。
将微分计算出来之后，可以化为有理函数积分，后面一样需要分部积分的。
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粉色是常数，可以合并到C中。
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一类题目的总结。
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一种特殊的换元法。
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公式(80)的常规解法。
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换元法，转为有理函数积分。
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下图的第六行，没有将1/(t²+1)的微分计算出来，而是直接使用分部积分。
这样能简便一些。
将微分计算出来之后，可以化为有理函数积分。
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计算上图的微分，可以得到上图的分母是(t²+1)²，所以我们可以令 t = tan(u) 进行换元。
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将两步的换元法合并为一步，就是下图的换元法，也就是一种特殊的换元法。
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注意：arctan, arcsin, arccos是可以相互转化的。
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公式(80)。
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使用特殊换元法。
三角函数的二倍角公式。
三角函数的万能公式。
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公式(81)。
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使用特殊换元法。
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公式(82)。
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使用特殊换元法。
三角函数的二倍角公式。
三角函数的万能公式。
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第一张图的式子(4)的解法。
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使用特殊换元法。
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三角函数的基本积分公式。
sinx, cosx, tanx, cotx 的积分公式。
公式(83)到公式(86)。
公式(85)和公式(86)用了凑微分。
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三角函数的基本积分公式。
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secx 和 cscx 。
公式(87)和公式(88)。
这两个积分公式的推导过程必须熟练掌握。
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secx 和 cscx 的积分，给了三种结果。
cscx 的三种结果，后面的图里给出了转化过程。secx 的转化过程类似，请自行推导。
请将下图的蓝色积分结果背住。
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secx 的积分公式。
第一种结果。
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cscx 的积分公式。
第一种结果。
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cscx 的积分公式。
第二种结果。
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cscx 的积分公式。
第三种结果。
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公式(89)到公式(92)
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公式(93)和公式(94)
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sin²x，cos²x, tan²x, cot²x 的积分公式。
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用到三角函数的二倍角公式。
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公式(95)和公式(96)。
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sinx 和 cosx 的正整数次方的递推公式。
推导原理：
拆出一个 sinx 或 cosx，然后凑微分，分部积分，最后移项合并。
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sinx 的正整数次方的递推公式。
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cosx 的正整数次方的递推公式。
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公式(97)和公式(98)。
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cscx 和 secx 的正整数次方的递推公式。
推导原理：
拆出两个 cscx 或 secx，然后凑微分，分部积分，最后移项合并。
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cscx 的正整数次方的递推公式。
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secx 的正整数次方的递推公式。
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tanx 和 cotx 的正整数次方的递推公式。
推导原理：
拆出两个 tanx 或 cotx，裂项，然后凑微分。
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